Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13690
2020-03-12 
Обобщить формулу Циолковского на случай релятивистских движений ракеты. Считать, что скорости ракеты и газовой струи направлены вдоль одной прямой.
Решение:
Пусть $m$ и $v$ - масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени $t$, а $m_{газ}$ и $v_{газ}$ - те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времени. Так как газы, уже покинувшие ракету, не оказывают влияния на ее движение, то можно принять $m_{газ} = 0$. Однако газы непрерывно образуются, так что $dm_{газ} \neq 0$. На основании закона сохранения импульса и энергии (релятивистской массы)
$\frac{mv}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } + \frac{m_{газ}v_{газ} }{ \sqrt{1 - \frac{v_{газ}^{2} }{c^{2} } } } = const$, (1)
$\frac{m}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } + \frac{m_{газ} }{ \sqrt{1 - \frac{v_{газ}^{2} }{c^{2} } } } = const$. (2)
Дифференцируя уравнение (1) с учетом (2) и полагая в окончательном результате $m_{газ} = 0$, получим
$\frac{m}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } dv + (v - v_{газ})d \frac{m}{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } = 0$.
По релятивистскому закону сложения скоростей
$v_{газ} = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^{2} } }$, (3)
где $u$ - скорость газовой струи относительно ракеты. Исключая $v_{газ}$, после несложных преобразований находим
$\frac{dv}{v^{2} - c^{2} } = \frac{u}{c^{2} } \frac{dm}{m}$.
Предполагая скорость и постоянной и интегрируя, получим
$\frac{m_{0} }{m} = \left ( \frac{1 + \beta }{1 - \beta } \right )^{ \frac{c}{2u} }$. (4)
Обобщить формулу Циолковского на случай релятивистских движений ракеты. Считать, что скорости ракеты и газовой струи направлены вдоль одной прямой.
Решение:
Пусть $m$ и $v$ - масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени $t$, а $m_{газ}$ и $v_{газ}$ - те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времени. Так как газы, уже покинувшие ракету, не оказывают влияния на ее движение, то можно принять $m_{газ} = 0$. Однако газы непрерывно образуются, так что $dm_{газ} \neq 0$. На основании закона сохранения импульса и энергии (релятивистской массы)
$\frac{mv}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } + \frac{m_{газ}v_{газ} }{ \sqrt{1 - \frac{v_{газ}^{2} }{c^{2} } } } = const$, (1)
$\frac{m}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } + \frac{m_{газ} }{ \sqrt{1 - \frac{v_{газ}^{2} }{c^{2} } } } = const$. (2)
Дифференцируя уравнение (1) с учетом (2) и полагая в окончательном результате $m_{газ} = 0$, получим
$\frac{m}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } dv + (v - v_{газ})d \frac{m}{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } = 0$.
По релятивистскому закону сложения скоростей
$v_{газ} = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^{2} } }$, (3)
где $u$ - скорость газовой струи относительно ракеты. Исключая $v_{газ}$, после несложных преобразований находим
$\frac{dv}{v^{2} - c^{2} } = \frac{u}{c^{2} } \frac{dm}{m}$.
Предполагая скорость и постоянной и интегрируя, получим
$\frac{m_{0} }{m} = \left ( \frac{1 + \beta }{1 - \beta } \right )^{ \frac{c}{2u} }$. (4)
