Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13689
2020-03-12 
С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При каком отношении масс первой ($m_{1}$) и второй ($m_{2}$) ступеней скорость контейнера с полезным грузом (массы $m$) получится максимальной? Скорость истечения газов и в двигателях обеих ступеней постоянна и одинакова. Отношения массы топлива к массе ступени равны соответственно $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ для первой и второй ступеней. Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения добавочных импульсов.
Решение:
Если бы не было притяжения Луны, то задача свелась бы к нахождению наивыгоднейшего отношения $\frac{m_{2}}{m_{1} }$ для достижения заданной скорости ракеты. Поэтому от действия силы тяжести можно отвлечься и считать, что ракета движется в пространстве, свободном от тяготения. Примем за единицу массы полную массу ракеты в момент старта. Тогда
$m_{1} + m_{2} + m = 1$. (1)
После выгорания топлива в первой ступени масса системы уменьшится на $\alpha_{1}m_{1}$. Если при этом будет достигнута скорость $v_{1}$, то по соотношению Циолковского
$e^{ \frac{v_{1} }{u} } = \frac{1}{(1 - \alpha_{1} )m_{1} + m_{2} + m }$.
Масса $(1 - \alpha_{1} )m_{1}$ отделяется, и включается двигатель второй ступени. После выгорания топлива во второй ступени скорость ракеты возрастает еще на величину $v_{2}$, причем
$e^{ \frac{v_{2} }{u} } = \frac{m_{2} + m }{(1 - \alpha_{2} )m_{2} + m }$.
В этом можно убедиться, если перейти в систему отсчета, в которой ракета в момент отделения первой ступени покоится. Полная достигнутая скорость найдется перемножением двух предыдущих соотношений и последующим логарифмированием. Исключая еще при этом массу $m_{2}$ с помощью соотношения (1), получим
$\frac{v}{u} = ln (1 - m_{1}) - ln (1 - \alpha_{1}m_{1} ) - ln [(1 - \alpha_{2} )(1 - m_{1} ) + \alpha_{2}m]$.
Здесь $m$ и $u$ играют роль постоянных параметров, а $m_{1}$ - аргумента, от которого зависит скорость $v$. Дифференцируя по $m_{1}$ и приравнивая производную нулю, получим условие максимума
$\frac{1}{m_{1} - 1 } + \frac{1}{ \beta - m_{1} } + \frac{1}{ \gamma - m_{1} } = 0$, (2)
где введены обозначения
$\beta = \frac{1}{ \alpha_{1} }, \gamma = 1 + \frac{ \alpha_{2} }{1 - \alpha_{2} }m$.
Условие (2) приводит к квадратному уравнению относительно т1( решая которое, найдем
$m_{1} = 1 - \sqrt{1 + ( \beta \gamma - \beta - \gamma)}$.
Перед корнем взят минус, так как по смыслу задачи $0 < m_{1} < 1$. С помощью (1) находим массу $m_{2}$, а затем искомое отношение $\frac{m_{2}}{m_{1}}$. Возвращаясь при этом к прежним параметрам $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, получим
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = \frac{ \sqrt{ \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} } \frac{1 - \alpha_{1} }{1 - \alpha_{2} } } - \sqrt{m} }{1 - \sqrt{ \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} } \frac{1 - \alpha_{1} }{1 - \alpha_{2} } m } } \sqrt{m}$. (3)
Решение имеет смысл при выполнении условия
$\frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} } \frac{1 - \alpha_{1} }{1 - \alpha_{2} } m < 1$.
В реальных условиях, когда $m \ll 1$, а параметры $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ отличаются не очень сильно, это условие соблюдается. При $\alpha_{1} = \alpha_{2}$ получается простая формула
$\frac{m_{2}}{m_{1} } = \sqrt{m}$. (4)
С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При каком отношении масс первой ($m_{1}$) и второй ($m_{2}$) ступеней скорость контейнера с полезным грузом (массы $m$) получится максимальной? Скорость истечения газов и в двигателях обеих ступеней постоянна и одинакова. Отношения массы топлива к массе ступени равны соответственно $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ для первой и второй ступеней. Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения добавочных импульсов.
Решение:
Если бы не было притяжения Луны, то задача свелась бы к нахождению наивыгоднейшего отношения $\frac{m_{2}}{m_{1} }$ для достижения заданной скорости ракеты. Поэтому от действия силы тяжести можно отвлечься и считать, что ракета движется в пространстве, свободном от тяготения. Примем за единицу массы полную массу ракеты в момент старта. Тогда
$m_{1} + m_{2} + m = 1$. (1)
После выгорания топлива в первой ступени масса системы уменьшится на $\alpha_{1}m_{1}$. Если при этом будет достигнута скорость $v_{1}$, то по соотношению Циолковского
$e^{ \frac{v_{1} }{u} } = \frac{1}{(1 - \alpha_{1} )m_{1} + m_{2} + m }$.
Масса $(1 - \alpha_{1} )m_{1}$ отделяется, и включается двигатель второй ступени. После выгорания топлива во второй ступени скорость ракеты возрастает еще на величину $v_{2}$, причем
$e^{ \frac{v_{2} }{u} } = \frac{m_{2} + m }{(1 - \alpha_{2} )m_{2} + m }$.
В этом можно убедиться, если перейти в систему отсчета, в которой ракета в момент отделения первой ступени покоится. Полная достигнутая скорость найдется перемножением двух предыдущих соотношений и последующим логарифмированием. Исключая еще при этом массу $m_{2}$ с помощью соотношения (1), получим
$\frac{v}{u} = ln (1 - m_{1}) - ln (1 - \alpha_{1}m_{1} ) - ln [(1 - \alpha_{2} )(1 - m_{1} ) + \alpha_{2}m]$.
Здесь $m$ и $u$ играют роль постоянных параметров, а $m_{1}$ - аргумента, от которого зависит скорость $v$. Дифференцируя по $m_{1}$ и приравнивая производную нулю, получим условие максимума
$\frac{1}{m_{1} - 1 } + \frac{1}{ \beta - m_{1} } + \frac{1}{ \gamma - m_{1} } = 0$, (2)
где введены обозначения
$\beta = \frac{1}{ \alpha_{1} }, \gamma = 1 + \frac{ \alpha_{2} }{1 - \alpha_{2} }m$.
Условие (2) приводит к квадратному уравнению относительно т1( решая которое, найдем
$m_{1} = 1 - \sqrt{1 + ( \beta \gamma - \beta - \gamma)}$.
Перед корнем взят минус, так как по смыслу задачи $0 < m_{1} < 1$. С помощью (1) находим массу $m_{2}$, а затем искомое отношение $\frac{m_{2}}{m_{1}}$. Возвращаясь при этом к прежним параметрам $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, получим
$\frac{m_{2} }{m_{1} } = \frac{ \sqrt{ \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} } \frac{1 - \alpha_{1} }{1 - \alpha_{2} } } - \sqrt{m} }{1 - \sqrt{ \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} } \frac{1 - \alpha_{1} }{1 - \alpha_{2} } m } } \sqrt{m}$. (3)
Решение имеет смысл при выполнении условия
$\frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} } \frac{1 - \alpha_{1} }{1 - \alpha_{2} } m < 1$.
В реальных условиях, когда $m \ll 1$, а параметры $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ отличаются не очень сильно, это условие соблюдается. При $\alpha_{1} = \alpha_{2}$ получается простая формула
$\frac{m_{2}}{m_{1} } = \sqrt{m}$. (4)
