Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13688
2020-03-12 
В ракете продукты сгорания (газы) выбрасываются со скоростью $u = 3 км/с$ (относительно ракеты). Найти отношение $\eta$ ее кинетической энергии $K_{рак}$ к кинетической энергии продуктов сгорания $K_{газ}$ в момент достижения ракетой скорости $v_{кон}=12 км/с$.
Решение:
Приращение скорости ракеты $v$ связано с изменением ее массы $m$ соотношением $mdv = - u dm$, причем $dm_{газ} = - dm$, где $m_{газ}$ - масса выброшенных газов. Приращение кинетической энергии газов:
$dK_{газ} = \frac{1}{2} dm_{газ} v_{газ}^{2} = \frac{mv_{газ}^{2} }{2u} dv$.
Подставив сюда $v_{газ} = v - u$ и воспользовавшись формулой Циолковского $m = m_{0} e^{ - \frac{v}{u}}$, получим
$dK_{газ} = - \frac{m_{0} }{2u} (u - v)^{2} e^{ - \frac{v}{u} } dv$,
или после интегрирования
$K_{газ} = \frac{1}{2} mv_{кон}^{2} = \frac{1}{2} m_{0}u^{2}x^{2} e^{-x}$.
где для краткости введено обозначение $x = \frac{v_{кон}}{u}$. Кинетическая энергия ракеты:
$K_{рак} = \frac{1}{2} mv_{кон}^{2} = \frac{1}{2} m_{0}u^{2}x^{2}e^{-x} $.
В результате находим
$\eta = \frac{K_{рак} }{K_{газ} } = \frac{x^{2} }{e^{x} - (1 + x^{2} ) }$.
При $x = 4$ $\eta = 45$ %.
В ракете продукты сгорания (газы) выбрасываются со скоростью $u = 3 км/с$ (относительно ракеты). Найти отношение $\eta$ ее кинетической энергии $K_{рак}$ к кинетической энергии продуктов сгорания $K_{газ}$ в момент достижения ракетой скорости $v_{кон}=12 км/с$.
Решение:
Приращение скорости ракеты $v$ связано с изменением ее массы $m$ соотношением $mdv = - u dm$, причем $dm_{газ} = - dm$, где $m_{газ}$ - масса выброшенных газов. Приращение кинетической энергии газов:
$dK_{газ} = \frac{1}{2} dm_{газ} v_{газ}^{2} = \frac{mv_{газ}^{2} }{2u} dv$.
Подставив сюда $v_{газ} = v - u$ и воспользовавшись формулой Циолковского $m = m_{0} e^{ - \frac{v}{u}}$, получим
$dK_{газ} = - \frac{m_{0} }{2u} (u - v)^{2} e^{ - \frac{v}{u} } dv$,
или после интегрирования
$K_{газ} = \frac{1}{2} mv_{кон}^{2} = \frac{1}{2} m_{0}u^{2}x^{2} e^{-x}$.
где для краткости введено обозначение $x = \frac{v_{кон}}{u}$. Кинетическая энергия ракеты:
$K_{рак} = \frac{1}{2} mv_{кон}^{2} = \frac{1}{2} m_{0}u^{2}x^{2}e^{-x} $.
В результате находим
$\eta = \frac{K_{рак} }{K_{газ} } = \frac{x^{2} }{e^{x} - (1 + x^{2} ) }$.
При $x = 4$ $\eta = 45$ %.
