Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13680
2020-03-12 
Три одинаковых шарика 1, 2 и 3 подвешены на пружинах один под другим так, что расстояния между ними одинаковы (рис.). Следовательно, центр масс системы совпадает с центром второго шарика. Если обрезать нить, удерживающую шарик 1, то система начнет падать, причем ускорение центра масс системы должно быть $\frac{3mg}{3m} = g$ (по известному закону: ускорение центра масс системы тел равно сумме внешних сил, действующих на систему, деленной на массу всей системы). Но пружина I тянет шарик 2 вверх сильнее, чем пружина II тянет этот шарик вниз (сила натяжения пружины I в начальный момент $f_{1} = 2mg$, а сила натяжения пружины II в начальный момент $f_{2} = mg$), следовательно, шарик 2 начинает падать с ускорением, меньшим чем $g$. Таким образом, мы пришли как будто к противоречию. 1) Объяснить кажущееся противоречие; 2) найти ускорения всех шариков в начальный момент; 3) определить начальные ускорения шариков, если мы перережем не пить, а пружину, поддерживающую шарик 3.
Решение:
Исходные условия равновесия рассматриваемой системы шариков будут иметь вид
$mg - T_{н} - T_{1} = 0, mg - T_{1} + T_{2} = 0, mg - T_{2} = 0$,
где $T_{1}, T_{2}$ и $T_{н}$ - натяжения соответственно пружин I и II и нити. Из этих уравнений могут быть найдены значения $T_{1}, T_{2}$ и $T_{н}$. При мгновенном перерезывании нити или пружины обращаются в нуль силы $T_{н}$ или $T_{2}$. В этот момент времени уравнения второго закона динамики для шариков в первом случае примут вид
$mg + T_{1} = ma_{1}, mg - T_{1} + T_{2} = ma_{2}, mg - T_{2} = ma_{3}$,
а во втором
$mg - T_{н} + T_{1} = ma_{1}, mg - T_{1} - T_{2} = ma_{2}, mg = ma_{3}$.
Решая для каждого случая соответствующую ему систему уравнений, находим искомые значения ускорений шариков в начальный момент времени.
Для того чтобы расстояние между шариками было одинаковым, пружины в нерастянутом состоянии должны иметь несколько различную длину (или иметь различную упругость), так как на пружину I действует вес двух шариков, а на пружину II - вес одного шарика. Поэтому:
1) при свободном падении всей системы шариков центр шарика 2 уже не является центром масс системы, а ускорение массы шарика 2 не является ускорением центра масс системы, так как при движении расстояние между шариками меняется под действием пружинок. Центр масс системы имеет постоянное ускорение $g$;
2) $a_{1} = 3g, a_{2} = a_{3} = 0$;
3) $a_{1} = 0, a_{2} = -g, a_{3} = g$.
Три одинаковых шарика 1, 2 и 3 подвешены на пружинах один под другим так, что расстояния между ними одинаковы (рис.). Следовательно, центр масс системы совпадает с центром второго шарика. Если обрезать нить, удерживающую шарик 1, то система начнет падать, причем ускорение центра масс системы должно быть $\frac{3mg}{3m} = g$ (по известному закону: ускорение центра масс системы тел равно сумме внешних сил, действующих на систему, деленной на массу всей системы). Но пружина I тянет шарик 2 вверх сильнее, чем пружина II тянет этот шарик вниз (сила натяжения пружины I в начальный момент $f_{1} = 2mg$, а сила натяжения пружины II в начальный момент $f_{2} = mg$), следовательно, шарик 2 начинает падать с ускорением, меньшим чем $g$. Таким образом, мы пришли как будто к противоречию. 1) Объяснить кажущееся противоречие; 2) найти ускорения всех шариков в начальный момент; 3) определить начальные ускорения шариков, если мы перережем не пить, а пружину, поддерживающую шарик 3.
Решение:
Исходные условия равновесия рассматриваемой системы шариков будут иметь вид
$mg - T_{н} - T_{1} = 0, mg - T_{1} + T_{2} = 0, mg - T_{2} = 0$,
где $T_{1}, T_{2}$ и $T_{н}$ - натяжения соответственно пружин I и II и нити. Из этих уравнений могут быть найдены значения $T_{1}, T_{2}$ и $T_{н}$. При мгновенном перерезывании нити или пружины обращаются в нуль силы $T_{н}$ или $T_{2}$. В этот момент времени уравнения второго закона динамики для шариков в первом случае примут вид
$mg + T_{1} = ma_{1}, mg - T_{1} + T_{2} = ma_{2}, mg - T_{2} = ma_{3}$,
а во втором
$mg - T_{н} + T_{1} = ma_{1}, mg - T_{1} - T_{2} = ma_{2}, mg = ma_{3}$.
Решая для каждого случая соответствующую ему систему уравнений, находим искомые значения ускорений шариков в начальный момент времени.
Для того чтобы расстояние между шариками было одинаковым, пружины в нерастянутом состоянии должны иметь несколько различную длину (или иметь различную упругость), так как на пружину I действует вес двух шариков, а на пружину II - вес одного шарика. Поэтому:
1) при свободном падении всей системы шариков центр шарика 2 уже не является центром масс системы, а ускорение массы шарика 2 не является ускорением центра масс системы, так как при движении расстояние между шариками меняется под действием пружинок. Центр масс системы имеет постоянное ускорение $g$;
2) $a_{1} = 3g, a_{2} = a_{3} = 0$;
3) $a_{1} = 0, a_{2} = -g, a_{3} = g$.
