Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13679
2020-03-12 
Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды скоростью $v$, перпендикулярной к течению. Скорость течения реки, ширина которой $d$, равна нулю у берегов и линейно возрастает по мере приближения к середине реки, где она достигает значения $u$. Найти траекторию лодки, а также снос лодки $x_{0}$ вниз по течению, от пункта ее отправления до места причала на противоположном берегу реки.
Решение:
Написанные уравнения находим для первой параболы из условий:
при $t = 0$ $x = 0$ и $y = 0$, (1)
и уравнений
$v_{y} = v = const$ или $y = vt$, (2)
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = ky = \frac{2u}{d}y$, (3)
Интегрирование уравнения (3) при учете (1) и (2) дает $x = \frac{uv}{d}t^{2}$. Исключая время $t$, находим уравнение ветви первой параболы. Подставляя в него $y = \frac{d}{2}$, находим снос лодки на первой половине ее пути. Уравнение ветви второй параболы легко получить следующим образом. Выберем новое начало координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$ в той точке $O^{ \prime}$ на середине реки, которой достигнет лодка, пройдя первую половину пути. Теперь начальные условия движения запишутся так: при $t = 0$ $x^{ \prime} = 0$ и $y^{ \prime} = 0$. Далее, $y^{ \prime} = vt$, но $v_{x} = u - \frac{2u}{d} y^{ \prime}$. Решая эти уравнения, как и в первом случае, находим $y^{ \prime} = \frac{d}{2} - \sqrt{ \frac{d^{2} }{4} - \frac{vx^{ \prime}d }{u} }$. Возвращаясь к прежним координатам, при помощи соотношений $y = y^{ \prime} + \frac{d}{2}$ и $x = x^{ \prime} + \frac{ud}{2v}$, находим уравнение ветви второй параболы в прежних координатах. Очевидно, что эта ветвь второй параболы будет перевернутым повторением ветви первой параболы.
Траектория состоит из ветвей двух парабол (рис.):
$y = \sqrt{ \frac{vdx}{u}}$ и $y = d - \sqrt{ \frac{d^{2} }{2} - \frac{vxd}{u} }; x_{0} = \frac{ud}{2v}$.
Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды скоростью $v$, перпендикулярной к течению. Скорость течения реки, ширина которой $d$, равна нулю у берегов и линейно возрастает по мере приближения к середине реки, где она достигает значения $u$. Найти траекторию лодки, а также снос лодки $x_{0}$ вниз по течению, от пункта ее отправления до места причала на противоположном берегу реки.
Решение:
Написанные уравнения находим для первой параболы из условий:
при $t = 0$ $x = 0$ и $y = 0$, (1)
и уравнений
$v_{y} = v = const$ или $y = vt$, (2)
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = ky = \frac{2u}{d}y$, (3)
Интегрирование уравнения (3) при учете (1) и (2) дает $x = \frac{uv}{d}t^{2}$. Исключая время $t$, находим уравнение ветви первой параболы. Подставляя в него $y = \frac{d}{2}$, находим снос лодки на первой половине ее пути. Уравнение ветви второй параболы легко получить следующим образом. Выберем новое начало координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$ в той точке $O^{ \prime}$ на середине реки, которой достигнет лодка, пройдя первую половину пути. Теперь начальные условия движения запишутся так: при $t = 0$ $x^{ \prime} = 0$ и $y^{ \prime} = 0$. Далее, $y^{ \prime} = vt$, но $v_{x} = u - \frac{2u}{d} y^{ \prime}$. Решая эти уравнения, как и в первом случае, находим $y^{ \prime} = \frac{d}{2} - \sqrt{ \frac{d^{2} }{4} - \frac{vx^{ \prime}d }{u} }$. Возвращаясь к прежним координатам, при помощи соотношений $y = y^{ \prime} + \frac{d}{2}$ и $x = x^{ \prime} + \frac{ud}{2v}$, находим уравнение ветви второй параболы в прежних координатах. Очевидно, что эта ветвь второй параболы будет перевернутым повторением ветви первой параболы.
Траектория состоит из ветвей двух парабол (рис.):
$y = \sqrt{ \frac{vdx}{u}}$ и $y = d - \sqrt{ \frac{d^{2} }{2} - \frac{vxd}{u} }; x_{0} = \frac{ud}{2v}$.
