Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13678
2020-03-01 
Заряд $Q$ однородно распределен по поверхности цилиндра радиусом $R$ и высотой $H$. Бусинка c тем же по знаку зарядом может свободно скользить по тонкой непроводящей спице, совпадающей с диаметром серединного (равноотстоящего от оснований) сечения. Найдите период малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. Удельный заряд бусинки $\gamma = \frac{q}{m}$ известен.
Решение:
Для определения зависимости $E(r)$ вблизи положения равновесия воспользуемся теоремой Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через поверхность соосного с заряженным небольшого цилиндра - радиус основания $r$, высота $h$ ($r,h \ll R, H$) - равен нулю. Найдем величины потоков через основания $\Phi_{1}$ и боковую поверхность $\Phi_{2}$ этого цилиндра (для определенности считаем заряды $Q$ и $q$ положительными):
$\Phi_{1} = 2 \frac{ \sigma \cdot 2 \pi Rh}{R^{2} + \frac{H^{2}}{4} } \frac{ \frac{H}{2} }{ \sqrt{R^{2} + \frac{H^{2} }{4} } } \pi r^{2} = \frac{Q}{L^{3} } \pi r^{2} h$, где $L = \sqrt{R^{2} + \frac{H^{2} }{4} }$,
$\Phi_{2} = 2 \pi rh E(r)$
Эти потоки равны:
$2 \pi rh E(r) = \frac{Q}{L^{3} } \pi r^{2}h$.
Отсюда получаем, что в плоскости сечения, где находится бусинка, при ее смещении $r$ из центра величина вектора напряженности пропорциональна смещению:
$E(r) = \frac{Q}{ 2L^{3} }r$.
Запишем уравнение движения бусинки:
$mr^{ \prime \prime} = - q \frac{Q}{ 2L^{3} }r$.
Отсюда находим частоту гармонических колебаний бусинки:
$\omega = \sqrt{ \frac{q}{m} \frac{Q}{2L^{3} } } = \frac{1}{L} \sqrt{ \frac{ \gamma Q}{2L} }$
и период:
$T = \frac{2 \pi }{ \omega } = 2 \sqrt{2} \pi L \sqrt{ \frac{L}{ \gamma Q} }$, где $L = \sqrt{ R^{2} + \frac{H^{2} }{4} }$.
Заряд $Q$ однородно распределен по поверхности цилиндра радиусом $R$ и высотой $H$. Бусинка c тем же по знаку зарядом может свободно скользить по тонкой непроводящей спице, совпадающей с диаметром серединного (равноотстоящего от оснований) сечения. Найдите период малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. Удельный заряд бусинки $\gamma = \frac{q}{m}$ известен.
Решение:
Для определения зависимости $E(r)$ вблизи положения равновесия воспользуемся теоремой Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через поверхность соосного с заряженным небольшого цилиндра - радиус основания $r$, высота $h$ ($r,h \ll R, H$) - равен нулю. Найдем величины потоков через основания $\Phi_{1}$ и боковую поверхность $\Phi_{2}$ этого цилиндра (для определенности считаем заряды $Q$ и $q$ положительными):
$\Phi_{1} = 2 \frac{ \sigma \cdot 2 \pi Rh}{R^{2} + \frac{H^{2}}{4} } \frac{ \frac{H}{2} }{ \sqrt{R^{2} + \frac{H^{2} }{4} } } \pi r^{2} = \frac{Q}{L^{3} } \pi r^{2} h$, где $L = \sqrt{R^{2} + \frac{H^{2} }{4} }$,
$\Phi_{2} = 2 \pi rh E(r)$
Эти потоки равны:
$2 \pi rh E(r) = \frac{Q}{L^{3} } \pi r^{2}h$.
Отсюда получаем, что в плоскости сечения, где находится бусинка, при ее смещении $r$ из центра величина вектора напряженности пропорциональна смещению:
$E(r) = \frac{Q}{ 2L^{3} }r$.
Запишем уравнение движения бусинки:
$mr^{ \prime \prime} = - q \frac{Q}{ 2L^{3} }r$.
Отсюда находим частоту гармонических колебаний бусинки:
$\omega = \sqrt{ \frac{q}{m} \frac{Q}{2L^{3} } } = \frac{1}{L} \sqrt{ \frac{ \gamma Q}{2L} }$
и период:
$T = \frac{2 \pi }{ \omega } = 2 \sqrt{2} \pi L \sqrt{ \frac{L}{ \gamma Q} }$, где $L = \sqrt{ R^{2} + \frac{H^{2} }{4} }$.
