Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13677
2020-03-01 
На стеклянном баллоне лампочки накаливания написано 12 В, 96 Вт. Нить накала сделана из вольфрамовой проволочки с поперечным сечением в форме квадрата $a \times a$, свернута в спираль с шагом чуть больше ребра квадрата. Диаметр спирали $D_{спир} = 1 мм$. Лампочка питается правильным эффективным напряжением 12 В от трансформатора, подключенного к сети 220 В, 50 Гц. Средняя температура нити накала $T_{0} = 3000 К$. Найдите длину спирали и ребро квадрата, а также оцените амплитуду колебаний температуры нити накаливания. Необходимые данные о характеристиках вольфрама отыщите самостоятельно в справочниках (или воспользуйтесь другими источниками информации).
Решение:
В рабочем режиме среднее по величине электрическое сопротивление $R_{0}$ лампочки равно $\frac{U_{эфф}^{2}}{W}$. Для рассматриваемого примера $R_{0} = 1,5 Ом$. Если напряжение на выводах лампы непостоянное, то температура нити накала изменяется со временем, причем запас тепловой энергии нити (внутренней энергии) меняется в результате двух процессов: получения энергии с мгновенной мощностью $\frac{U_{t}^{2}}{R_{T}}$ и потерь энергии посредством излучения (этот механизм теплопередачи в данном случае является основным). Мощность, теряемая нагретым телом, имеющим температуру поверхности $T$, определяется законом Стефана-Больцмана, поэтому
$W = k(L \pi D) \sigma T^{4}$,
где $L \pi D$ - это площадь горячей поверхности, $k$ - интегральный коэффициент излучения, $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана. В этой формуле не учитывается обратный поток излучения от окружения к горячему телу, поскольку температура тела $T$ (горячей спирали) во много раз больше температуры окружения $T_{окр}$. Согласно данным справочника "Таблицы физических величин", интегральный коэффициент теплового излучения для вольфрама с рабочей температурой нити накаливания $T_{0}$ пропорционален температуре $T$ и равен $k_{T} = \frac{k_{0}T}{T_{0}}$, где $k_{0} = 0,325$. Это означает, что мощность излучения пропорциональна пятой степени температуры: $W = \frac{k_{0}L \pi D \sigma T^{5}}{T_{0}}$. Таким образом, получаем
$L \pi Dadc_{p} \frac{dT}{dt} = \frac{(U_{0} \cos \omega t )^{2}T_{0} }{R_{0}T } - \frac{k_{0} L \pi D \sigma T^{5} }{T_{0} }$ (*)
Получилось страшное на вид дифференциальное уравнение, однако для получения ответов на вопросы задачи решать его вовсе не обязательно.
Для начала поищем в интернете сведения о вольфраме. Набираем в "поисковике" слова "свойства вольфрама" и выбираем разные источники информации. Например, по данным таблицы "Теплофизические свойства, плотность вольфрама и его теплопроводность" при температуре 3000 К плотность вольфрама $d = 18,22 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, удельная теплоемкость $c_{p} = 220 Дж/(кг \cdot К)$, теплопроводность $\lambda = 107,5 Вт/(м \cdot К)$, удельное сопротивление $\rho = 93,4 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м$.
Из перечисленных параметров только удельное сопротивление заметно меняется с температурой, причем можно считать, что оно просто прямо пропорционально температуре, поэтому $R_{T} = \frac{R_{0}T}{T_{0}}$. Эта зависимость учтена в нашем уравнении (*).
По указанным в условии геометрическим размерам спирали и излучаемой в окружающее пространство средней мощности можно найти длину спирали:
$\frac{k_{0}L \pi D \sigma T_{0}^{5}}{T_{0} } = k_{0}L \pi D \sigma T_{0}^{4} = 96 Вт$, и $L = 17 мм$.
По величине среднего сопротивления лампочки можно найти и размеры поперечного сечения нити накала:
$R_{0} = \rho \frac{L}{a} \frac{ \pi D}{a^{2}}$, и $a = \sqrt[3]{ \frac{ \rho L \pi D}{R_{0} }} \approx 0,32 мм$.
Получается, что теплообмен спирали с внешней средой происходит так же, как и для трубы, у которой толщина стенок равна примерно одной трети от ее внешнего диаметра.
Из величин $L$ и $a$ можно найти объем спирали из вольфрама, а следовательно, массу и теплоемкость спирали:
$m \approx dL \frac{ \pi (D^{2} - (D - 2a)^{2} ) }{4} = dL \pi a (D - a)$,
$C = mc_{p} \approx 0,0466 Дж/К$.
Для обеспечения потока тепла к внешней поверхности спирали нужно, чтобы вблизи этой внешней поверхности температура изменялась с глубиной, причем градиент температуры, т.е. "скорость" изменения $\frac{dT}{dx}$, должен быть таким, чтобы выполнялось условие
$\frac{dT}{dx} L \pi D \lambda = W \approx 100 Вт$.
Из этого соотношения получаем
$\frac{dT}{dx} \approx 2 \cdot 10^{3} К/м$.
На расстоянии $a \approx 0,3 мм$ разница температур составит всего-то около 0,6 К. Таким образом, можно считать, что вся спираль по всему ее объему имеет примерно одинаковую температуру.
Совсем грубая оценка амплитуды изменения температуры может быть сделана так. Будем считать, что треть периода, равного 0,01 с, спираль получает энергию от сети мощностью 200 Вт, другую треть периода (две шестых части) получает среднюю мощность 100 Вт и, наконец, последнюю треть периода мощность, получаемая спиралью лампы от сети, равна нулю. А мощность, излучаемую спиралью, будем считать постоянной во времени и равной 100 Вт. При разнице мощностей, равной 100 Вт, за треть периода, т.е. за 0,003 с, теряется или приобретается энергия, равная приблизительно 0,3 Дж. При найденной теплоемкости спирали такая потеря или такое приобретение энергии соответствуют изменению температуры спирали на $\pm$6,4 К. Эта величина значительно меньше средней температуры спирали, поэтому пульсации мощности излучения лампы накаливания, которая питается от сети переменного тока, незаметны глазу.
На стеклянном баллоне лампочки накаливания написано 12 В, 96 Вт. Нить накала сделана из вольфрамовой проволочки с поперечным сечением в форме квадрата $a \times a$, свернута в спираль с шагом чуть больше ребра квадрата. Диаметр спирали $D_{спир} = 1 мм$. Лампочка питается правильным эффективным напряжением 12 В от трансформатора, подключенного к сети 220 В, 50 Гц. Средняя температура нити накала $T_{0} = 3000 К$. Найдите длину спирали и ребро квадрата, а также оцените амплитуду колебаний температуры нити накаливания. Необходимые данные о характеристиках вольфрама отыщите самостоятельно в справочниках (или воспользуйтесь другими источниками информации).
Решение:
В рабочем режиме среднее по величине электрическое сопротивление $R_{0}$ лампочки равно $\frac{U_{эфф}^{2}}{W}$. Для рассматриваемого примера $R_{0} = 1,5 Ом$. Если напряжение на выводах лампы непостоянное, то температура нити накала изменяется со временем, причем запас тепловой энергии нити (внутренней энергии) меняется в результате двух процессов: получения энергии с мгновенной мощностью $\frac{U_{t}^{2}}{R_{T}}$ и потерь энергии посредством излучения (этот механизм теплопередачи в данном случае является основным). Мощность, теряемая нагретым телом, имеющим температуру поверхности $T$, определяется законом Стефана-Больцмана, поэтому
$W = k(L \pi D) \sigma T^{4}$,
где $L \pi D$ - это площадь горячей поверхности, $k$ - интегральный коэффициент излучения, $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана. В этой формуле не учитывается обратный поток излучения от окружения к горячему телу, поскольку температура тела $T$ (горячей спирали) во много раз больше температуры окружения $T_{окр}$. Согласно данным справочника "Таблицы физических величин", интегральный коэффициент теплового излучения для вольфрама с рабочей температурой нити накаливания $T_{0}$ пропорционален температуре $T$ и равен $k_{T} = \frac{k_{0}T}{T_{0}}$, где $k_{0} = 0,325$. Это означает, что мощность излучения пропорциональна пятой степени температуры: $W = \frac{k_{0}L \pi D \sigma T^{5}}{T_{0}}$. Таким образом, получаем
$L \pi Dadc_{p} \frac{dT}{dt} = \frac{(U_{0} \cos \omega t )^{2}T_{0} }{R_{0}T } - \frac{k_{0} L \pi D \sigma T^{5} }{T_{0} }$ (*)
Получилось страшное на вид дифференциальное уравнение, однако для получения ответов на вопросы задачи решать его вовсе не обязательно.
Для начала поищем в интернете сведения о вольфраме. Набираем в "поисковике" слова "свойства вольфрама" и выбираем разные источники информации. Например, по данным таблицы "Теплофизические свойства, плотность вольфрама и его теплопроводность" при температуре 3000 К плотность вольфрама $d = 18,22 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, удельная теплоемкость $c_{p} = 220 Дж/(кг \cdot К)$, теплопроводность $\lambda = 107,5 Вт/(м \cdot К)$, удельное сопротивление $\rho = 93,4 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м$.
Из перечисленных параметров только удельное сопротивление заметно меняется с температурой, причем можно считать, что оно просто прямо пропорционально температуре, поэтому $R_{T} = \frac{R_{0}T}{T_{0}}$. Эта зависимость учтена в нашем уравнении (*).
По указанным в условии геометрическим размерам спирали и излучаемой в окружающее пространство средней мощности можно найти длину спирали:
$\frac{k_{0}L \pi D \sigma T_{0}^{5}}{T_{0} } = k_{0}L \pi D \sigma T_{0}^{4} = 96 Вт$, и $L = 17 мм$.
По величине среднего сопротивления лампочки можно найти и размеры поперечного сечения нити накала:
$R_{0} = \rho \frac{L}{a} \frac{ \pi D}{a^{2}}$, и $a = \sqrt[3]{ \frac{ \rho L \pi D}{R_{0} }} \approx 0,32 мм$.
Получается, что теплообмен спирали с внешней средой происходит так же, как и для трубы, у которой толщина стенок равна примерно одной трети от ее внешнего диаметра.
Из величин $L$ и $a$ можно найти объем спирали из вольфрама, а следовательно, массу и теплоемкость спирали:
$m \approx dL \frac{ \pi (D^{2} - (D - 2a)^{2} ) }{4} = dL \pi a (D - a)$,
$C = mc_{p} \approx 0,0466 Дж/К$.
Для обеспечения потока тепла к внешней поверхности спирали нужно, чтобы вблизи этой внешней поверхности температура изменялась с глубиной, причем градиент температуры, т.е. "скорость" изменения $\frac{dT}{dx}$, должен быть таким, чтобы выполнялось условие
$\frac{dT}{dx} L \pi D \lambda = W \approx 100 Вт$.
Из этого соотношения получаем
$\frac{dT}{dx} \approx 2 \cdot 10^{3} К/м$.
На расстоянии $a \approx 0,3 мм$ разница температур составит всего-то около 0,6 К. Таким образом, можно считать, что вся спираль по всему ее объему имеет примерно одинаковую температуру.
Совсем грубая оценка амплитуды изменения температуры может быть сделана так. Будем считать, что треть периода, равного 0,01 с, спираль получает энергию от сети мощностью 200 Вт, другую треть периода (две шестых части) получает среднюю мощность 100 Вт и, наконец, последнюю треть периода мощность, получаемая спиралью лампы от сети, равна нулю. А мощность, излучаемую спиралью, будем считать постоянной во времени и равной 100 Вт. При разнице мощностей, равной 100 Вт, за треть периода, т.е. за 0,003 с, теряется или приобретается энергия, равная приблизительно 0,3 Дж. При найденной теплоемкости спирали такая потеря или такое приобретение энергии соответствуют изменению температуры спирали на $\pm$6,4 К. Эта величина значительно меньше средней температуры спирали, поэтому пульсации мощности излучения лампы накаливания, которая питается от сети переменного тока, незаметны глазу.
