Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13676
2020-02-29 
Маленький массивный шарик прикреплен к одному концу упругой нити, а другой конец нити закреплен на потолке. Длина нерастянутой нити $L = 1 м$. Шарик "запустили" так, что он движется по окружности, оставаясь все время на одном и том же расстоянии от потолка. При этом нить образует с вертикалью угол $\alpha = 60^{ \circ}$ и на один оборот требуется время $t = 1,554 с$. Каков период малых вертикальных колебаний шарика на той же нити вблизи положения равновесия, если нить все время остается вертикальной? Какова максимальная амплитуда таких колебаний?
Решение:
В условии сказано, что шарик движется по окружности, значит трения о воздух нет. Период обращения шарика вокруг центра этой окружности, т.е. время одного оборота $t$, определяется расстоянием $h$ от шарика до потолка и ускорением свободного падения $g$. Действительно:
$m \omega^{2} R = m \omega^{2}h tg \alpha = mg tg \alpha$,
$t = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{h}{g} }$.
Отсюда находится расстояние до потолка: $h = \frac{gt^{2}}{4 \pi^{2}} = 0,6 м$ и длина растянутой нити: $L^{ \prime} = \frac{h}{ \cos \alpha} = 1,2 м$, которая больше $L$ на $\frac{L}{5}$. Сила натяжения нити $F = \frac{mg}{ \cos \alpha} = 2mg$ в два раза больше силы тяжести $mg$. Следовательно, отношение жесткости нити к массе шарика равно $\frac{k}{m} = \frac{10g}{L}$. При малых вертикальных колебаниях период равен
$T_{верт} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{10g}} \approx 0,634 c$
Максимальная амплитуда $A$ колебаний шарика, при которых нить остается вертикальной, т.е. выпрямленной (или в верхнем положении шарика даже чуть-чуть натянутой), определяется соотношением $Ak = mg$, следовательно,
$A = \frac{mg}{k} = \frac{L}{10} = 0,1 м = 10 см$.
Маленький массивный шарик прикреплен к одному концу упругой нити, а другой конец нити закреплен на потолке. Длина нерастянутой нити $L = 1 м$. Шарик "запустили" так, что он движется по окружности, оставаясь все время на одном и том же расстоянии от потолка. При этом нить образует с вертикалью угол $\alpha = 60^{ \circ}$ и на один оборот требуется время $t = 1,554 с$. Каков период малых вертикальных колебаний шарика на той же нити вблизи положения равновесия, если нить все время остается вертикальной? Какова максимальная амплитуда таких колебаний?
Решение:
В условии сказано, что шарик движется по окружности, значит трения о воздух нет. Период обращения шарика вокруг центра этой окружности, т.е. время одного оборота $t$, определяется расстоянием $h$ от шарика до потолка и ускорением свободного падения $g$. Действительно:
$m \omega^{2} R = m \omega^{2}h tg \alpha = mg tg \alpha$,
$t = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{h}{g} }$.
Отсюда находится расстояние до потолка: $h = \frac{gt^{2}}{4 \pi^{2}} = 0,6 м$ и длина растянутой нити: $L^{ \prime} = \frac{h}{ \cos \alpha} = 1,2 м$, которая больше $L$ на $\frac{L}{5}$. Сила натяжения нити $F = \frac{mg}{ \cos \alpha} = 2mg$ в два раза больше силы тяжести $mg$. Следовательно, отношение жесткости нити к массе шарика равно $\frac{k}{m} = \frac{10g}{L}$. При малых вертикальных колебаниях период равен
$T_{верт} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{10g}} \approx 0,634 c$
Максимальная амплитуда $A$ колебаний шарика, при которых нить остается вертикальной, т.е. выпрямленной (или в верхнем положении шарика даже чуть-чуть натянутой), определяется соотношением $Ak = mg$, следовательно,
$A = \frac{mg}{k} = \frac{L}{10} = 0,1 м = 10 см$.
