Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13675
2020-02-29 
Гантелька состоит из невесомого стержня, который соединяет две маленькие (точечные) бусинки A и B с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ (рис.). Бусинка A насажена на длинную горизонтальную спицу. Точка B соединена с точкой C прочной невесомой нитью. Точка C перемещается в одной со спицей вертикальной плоскости параллельно спице с постоянной скоростью. Конфигурация механической системы со временем не меняется. Известны углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, которые образуют отрезки AB и BC со спицей. Каков коэффициент трения между спицей и бусинкой A?
Решение:
Пусть $\vec{T}$ - натяжение нити, $m_{1} \vec{g}$ и $m_{2} \vec{g}$ -силы тяжести, действующие на каждую из концевых точек гантельки, $\vec{N}$ - нормальная реакция в точке опоры, $\vec{F}$ - сила трения. Запишем условия относительного равновесия, т.е. равновесия относительно системы отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно вместе с точкой С (рис.). Равенство нулю суммы сил, действующих на гантельку, в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси, будет иметь вид
$T \cos \alpha_{2} - F = 0$,
$T \sin \alpha_{2} + N - (m_{1} + m_{2}) g = 0$.
Из равенства нулю суммы моментов сил, посчитанных относительно точки B, имеем
$(m_{1}g - N) l \cos \alpha_{1} - Fl \sin \alpha_{1} = 0$.
Решая эти уравнения, находим
$T = m_{2}g \frac{ \cos \alpha_{1} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) }$,
$N = \left ( m_{1} - m_{2} \frac{ \cos \alpha_{2} \sin \alpha_{1} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) } \right )g$,
$F = m_{2}g \frac{ \cos \alpha_{1} \cos \alpha_{2} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) }$.
Поскольку $F = \mu N$, из последних двух выражений имеем
$m_{2} \frac{ \cos \alpha_{1} \cos \alpha_{2} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) } = \mu \left ( m_{1} - m_{2} \frac{ \cos \alpha_{2} \sin \alpha_{1} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{2} ) } \right )$,
откуда
$\mu = \left | \frac{m_{2} \cos \alpha_{1} \alpha_{2} }{m_{1} \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) - m_{2} \cos \alpha_{2} \sin \alpha_{1} } \right |$.
Видно, что в случае обращения в ноль знаменателя коэффициент трения становится бесконечно большим.
Гантелька состоит из невесомого стержня, который соединяет две маленькие (точечные) бусинки A и B с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ (рис.). Бусинка A насажена на длинную горизонтальную спицу. Точка B соединена с точкой C прочной невесомой нитью. Точка C перемещается в одной со спицей вертикальной плоскости параллельно спице с постоянной скоростью. Конфигурация механической системы со временем не меняется. Известны углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, которые образуют отрезки AB и BC со спицей. Каков коэффициент трения между спицей и бусинкой A?
Решение:
Пусть $\vec{T}$ - натяжение нити, $m_{1} \vec{g}$ и $m_{2} \vec{g}$ -силы тяжести, действующие на каждую из концевых точек гантельки, $\vec{N}$ - нормальная реакция в точке опоры, $\vec{F}$ - сила трения. Запишем условия относительного равновесия, т.е. равновесия относительно системы отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно вместе с точкой С (рис.). Равенство нулю суммы сил, действующих на гантельку, в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси, будет иметь вид
$T \cos \alpha_{2} - F = 0$,
$T \sin \alpha_{2} + N - (m_{1} + m_{2}) g = 0$.
Из равенства нулю суммы моментов сил, посчитанных относительно точки B, имеем
$(m_{1}g - N) l \cos \alpha_{1} - Fl \sin \alpha_{1} = 0$.
Решая эти уравнения, находим
$T = m_{2}g \frac{ \cos \alpha_{1} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) }$,
$N = \left ( m_{1} - m_{2} \frac{ \cos \alpha_{2} \sin \alpha_{1} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) } \right )g$,
$F = m_{2}g \frac{ \cos \alpha_{1} \cos \alpha_{2} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) }$.
Поскольку $F = \mu N$, из последних двух выражений имеем
$m_{2} \frac{ \cos \alpha_{1} \cos \alpha_{2} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) } = \mu \left ( m_{1} - m_{2} \frac{ \cos \alpha_{2} \sin \alpha_{1} }{ \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{2} ) } \right )$,
откуда
$\mu = \left | \frac{m_{2} \cos \alpha_{1} \alpha_{2} }{m_{1} \sin ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) - m_{2} \cos \alpha_{2} \sin \alpha_{1} } \right |$.
Видно, что в случае обращения в ноль знаменателя коэффициент трения становится бесконечно большим.
