Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13674
2020-02-29 
Каково соотношение между высотой горы $h$ и глубиной шахты $H$ (рис.), если периоды малых колебаний математического маятника на вершине горы и на дне шахты одинаковы? (Считайте, что Земля - однородный не вращающийся шар.)
Решение:
Введем обозначения $\alpha = \frac{h}{R}$ и $\beta = \frac{H}{R}$, где $R$ - радиус Земли. Ускорение свободного падения вне шара Земли, а именно на вершине горы, определяется формулой (без поправки на вращение)
$g_{h} = G \frac{M}{(R + h)^{2} } = G \frac{M}{R^{2} (1 + \alpha )^{2} } = \frac{g}{(1 + \alpha)^{2} }$,
где $g$ - ускорение на поверхности Земли. На дне шахты ускорение свободного падения определяется "ядром" Земли - шаром радиусом $r = R - H$:
$g_{H} = G \frac{M}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } \frac{ \frac{4}{3} \pi r^{3} }{r^{2} } = G \frac{M}{R^{2} } \left ( 1 - \frac{H}{R} \right ) = g( 1 - \beta )$.
Приравниваем ускорения на вершине горы и на дне шахты:
$\frac{g}{(1 + \alpha )^{2} } = g(1 - \beta)$.
После преобразования получаем точное соотношение между $\alpha$ и $\beta$:
$\frac{1}{(1 + \alpha )^{2}} = 1 - \beta$, и $\alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta } } - 1$.
График этого соотношения представлен на рисунке (красная линия). Точка пересечения графика с линией $\alpha = \beta$ (синяя линия) разделяет области различного соотношения между $\alpha$ (высотой горы) и $\beta$ (глубиной колодца). При малых величинах $\alpha \ll 1$ и $\beta \ll 1$ получаем
$\frac{(1 - \alpha )^{2}}{ (1 + \alpha )^{2} (1 - \alpha )^{2} } = (1 - \beta ), (1 - \alpha )^{2} = 1 - \beta$,
$1 - 2 \alpha + \alpha^{2} = 1 - \beta, 2 \alpha = \beta, h = \frac{H}{2}$,
т.е. глубина шахты в 2 раза больше высоты горы. Действительно, подъем в горы быстрее снижает ускорение свободного падения, чем спуск в шахту (пунктирная линия на графике).
Интересно, что синхронизация маятников при равенстве высоты горы глубине шахты соответствует значению "золотого сечения". После решения уравнения $\frac{1}{(1 + \alpha )^{2} } = 1 - \alpha$ получаем
$\alpha = \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2}$.
Примечание. Земля на самом деле не является однородным шаром, и при погружении на глубину более 3000 км ускорение свободного падения не падает, а наоборот растет. Однако современные технологии бурения еще не позволяют "добуриться" до такой глубины.
Каково соотношение между высотой горы $h$ и глубиной шахты $H$ (рис.), если периоды малых колебаний математического маятника на вершине горы и на дне шахты одинаковы? (Считайте, что Земля - однородный не вращающийся шар.)
Решение:
Введем обозначения $\alpha = \frac{h}{R}$ и $\beta = \frac{H}{R}$, где $R$ - радиус Земли. Ускорение свободного падения вне шара Земли, а именно на вершине горы, определяется формулой (без поправки на вращение)
$g_{h} = G \frac{M}{(R + h)^{2} } = G \frac{M}{R^{2} (1 + \alpha )^{2} } = \frac{g}{(1 + \alpha)^{2} }$,
где $g$ - ускорение на поверхности Земли. На дне шахты ускорение свободного падения определяется "ядром" Земли - шаром радиусом $r = R - H$:
$g_{H} = G \frac{M}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } \frac{ \frac{4}{3} \pi r^{3} }{r^{2} } = G \frac{M}{R^{2} } \left ( 1 - \frac{H}{R} \right ) = g( 1 - \beta )$.
Приравниваем ускорения на вершине горы и на дне шахты:
$\frac{g}{(1 + \alpha )^{2} } = g(1 - \beta)$.
После преобразования получаем точное соотношение между $\alpha$ и $\beta$:
$\frac{1}{(1 + \alpha )^{2}} = 1 - \beta$, и $\alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta } } - 1$.
График этого соотношения представлен на рисунке (красная линия). Точка пересечения графика с линией $\alpha = \beta$ (синяя линия) разделяет области различного соотношения между $\alpha$ (высотой горы) и $\beta$ (глубиной колодца). При малых величинах $\alpha \ll 1$ и $\beta \ll 1$ получаем
$\frac{(1 - \alpha )^{2}}{ (1 + \alpha )^{2} (1 - \alpha )^{2} } = (1 - \beta ), (1 - \alpha )^{2} = 1 - \beta$,
$1 - 2 \alpha + \alpha^{2} = 1 - \beta, 2 \alpha = \beta, h = \frac{H}{2}$,
т.е. глубина шахты в 2 раза больше высоты горы. Действительно, подъем в горы быстрее снижает ускорение свободного падения, чем спуск в шахту (пунктирная линия на графике).
Интересно, что синхронизация маятников при равенстве высоты горы глубине шахты соответствует значению "золотого сечения". После решения уравнения $\frac{1}{(1 + \alpha )^{2} } = 1 - \alpha$ получаем
$\alpha = \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2}$.
Примечание. Земля на самом деле не является однородным шаром, и при погружении на глубину более 3000 км ускорение свободного падения не падает, а наоборот растет. Однако современные технологии бурения еще не позволяют "добуриться" до такой глубины.
