Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13673
2020-02-29 
В "сером" ящике находится кольцо из шести резисторов (см. рисунок). Поворотом специального шаблона в этом ящике можно открывать выводы (точки соединения) только одного резистора и измерять прибором (омметром) сопротивление между этими точками. В ходе эксперимента были получены значения шести величин: $R_{12}, R_{23}, R_{34}, R_{45}, R_{56}, R_{61}$ (второй индекс соответствует номеру резистора). Определите по этим данным истинные значения сопротивлений всех шести резисторов.
Решение:
Обозначим экспериментально измеренные величины символами $X_{j} = R_{ij}$. Для этих величин можно записать
$X_{j} = \frac{ R_{j} \cdot \sum_{j \neq i} R_{j} }{R_{i} + \sum_{j \neq i} R_{j} }$.
Отсюда искомые величины сопротивлений резисторов будут иметь вид
$R_{i} = \frac{X_{i} \cdot \sum_{j \neq i} R_{j} }{ \sum_{j \neq i} R_{j} - X_{i} }$.
Полученную формулу будем использовать в режиме последовательного численного приближения. В нулевом приближении считаем
$R_{i0} = X_{i}$.
Далее вычисляем величины сопротивлений в первом приближении:
$R_{i1} = \frac{X_{i} \sum_{j \neq i} X_{j} }{ \sum_{j \neq i} R_{j1} - X_{i} }$
и во втором" приближении:
$R_{i2} = \frac{X_{i} \sum_{j \neq i} R_{j1} }{ \sum_{j \neq i} R_{j1} - X_{i} }$
Продолжаем итерационный процесс вычислений, пока получаемые величины не перестанут значимо изменяться. В качестве примера приведем результаты расчетов при значениях сопротивлений, равных номеру резистора. В таблице 1 слева записаны значения сопротивлений резисторов кольца. Столбцы правой части таблицы содержат соответствующие приближения этих величин. Первый столбец моделирует измеренные величины, т.е. нулевое приближение. Последующие столбцы моделируют приближения возрастающего порядка. Так, четвертый столбец содержит расчетные величины сопротивлений в третьем приближении. Видно, что погрешность вычисления этого приближения уже только порядка 1,5% (для резистора сопротивлением в 6 Ом). Число итераций, при котором достигается необходимая точность расчета, зависит от отношения величин сопротивлений резисторов кольца. Пример медленной сходимости иллюстрирует таблица 2, в которой сопротивление шестого резистора увеличено в десять раз.
Дополнительно отметим следующее. В некоторых случаях итерационного расчета искомая величина сходится по спирали (завышенные и заниженные значения расчетной величины чередуются). Наш пример относится к этому варианту. Использование среднего для пары итераций позволяет построить быстрый алгоритм расчета.
В "сером" ящике находится кольцо из шести резисторов (см. рисунок). Поворотом специального шаблона в этом ящике можно открывать выводы (точки соединения) только одного резистора и измерять прибором (омметром) сопротивление между этими точками. В ходе эксперимента были получены значения шести величин: $R_{12}, R_{23}, R_{34}, R_{45}, R_{56}, R_{61}$ (второй индекс соответствует номеру резистора). Определите по этим данным истинные значения сопротивлений всех шести резисторов.
Решение:
Обозначим экспериментально измеренные величины символами $X_{j} = R_{ij}$. Для этих величин можно записать
$X_{j} = \frac{ R_{j} \cdot \sum_{j \neq i} R_{j} }{R_{i} + \sum_{j \neq i} R_{j} }$.
Отсюда искомые величины сопротивлений резисторов будут иметь вид
$R_{i} = \frac{X_{i} \cdot \sum_{j \neq i} R_{j} }{ \sum_{j \neq i} R_{j} - X_{i} }$.
Полученную формулу будем использовать в режиме последовательного численного приближения. В нулевом приближении считаем
$R_{i0} = X_{i}$.
Далее вычисляем величины сопротивлений в первом приближении:
$R_{i1} = \frac{X_{i} \sum_{j \neq i} X_{j} }{ \sum_{j \neq i} R_{j1} - X_{i} }$
и во втором" приближении:
$R_{i2} = \frac{X_{i} \sum_{j \neq i} R_{j1} }{ \sum_{j \neq i} R_{j1} - X_{i} }$
Продолжаем итерационный процесс вычислений, пока получаемые величины не перестанут значимо изменяться. В качестве примера приведем результаты расчетов при значениях сопротивлений, равных номеру резистора. В таблице 1 слева записаны значения сопротивлений резисторов кольца. Столбцы правой части таблицы содержат соответствующие приближения этих величин. Первый столбец моделирует измеренные величины, т.е. нулевое приближение. Последующие столбцы моделируют приближения возрастающего порядка. Так, четвертый столбец содержит расчетные величины сопротивлений в третьем приближении. Видно, что погрешность вычисления этого приближения уже только порядка 1,5% (для резистора сопротивлением в 6 Ом). Число итераций, при котором достигается необходимая точность расчета, зависит от отношения величин сопротивлений резисторов кольца. Пример медленной сходимости иллюстрирует таблица 2, в которой сопротивление шестого резистора увеличено в десять раз.
Дополнительно отметим следующее. В некоторых случаях итерационного расчета искомая величина сходится по спирали (завышенные и заниженные значения расчетной величины чередуются). Наш пример относится к этому варианту. Использование среднего для пары итераций позволяет построить быстрый алгоритм расчета.
