Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13672
2020-02-29 
На дне пустого колодца лежит груз массой $m$, к которому привязан невесомый упругий шнур длиной $L$, а второй конец шнура привязан к барабану на уровне его оси (рис.). На шнуре на высоте $\frac{9}{10} L$ от дна колодца находится "метка". В начальный момент времени шнур не деформирован. Какую работу необходимо совершить для того, чтобы оторвать груз от дна колодца? Шнур при наматывании не проскальзывает относительно барабана (как бы прилипает к нему). Известно, что при отрыве груза метка оказывается на высоте оси барабана.
Решение:
Коэффициент упругости части шнура $k_{x}$ связан с коэффициентом упругости всего шнура $k$ соотношением
$k_{x} = k \frac{L}{x}$.
Запишем условие равновесия при отрыве груза от дна колодца:
$mg = k \frac{L}{0,9L} \cdot 0,1L$, или $9mg = kL$.
Далее сделаем приближенную оценку совершенной работы. Минимальная ее величина (заниженная) определяется работой при растяжении шнура от метки до оси барабана. Для этого беремся за метку на шнуре и перемещаем ее до оси барабана. "Работает" только часть шнура длиной $0,9L$ (часть шнура длиной $0,1L$ остается недеформированной), и
$A_{min} = k \frac{L}{0,9 L} \frac{(0,1L)^{2} }{2} = \frac{1}{20} mgL$.
Максимальная величина работы (завышенная) определяется работой при деформации всего шнура до силы натяжения отрыва. Беремся за конец всего шнура и перемещаем его вверх до того момента, пока метка не окажется на уровне оси барабана. При этом сила натяжения шнура равна $mg$, и
$A_{max} = \frac{(mg)^{2} }{2k} = \frac{1}{18} mgL$.
Очевидно, что искомая величина работы при наматывании шнура на барабан лежит в интервале $\left ( \frac{1}{20} - \frac{1}{18} \right ) mgL$. Определим приближенно энергетическую поправку к минимальной величине работы. Будем считать, что часть шнура, намотанного на барабан, деформирована линейно, т.е. сила натяжения частей шнура линейно возрастала в процессе намотки от нуля до $mg$ (рис.а). Энергия намотанного на барабан кусочка шнура длиной $\Delta x$ равна
$\Delta E = \frac{F^{2} }{2k_{ \Delta x} } = \frac{F^{2} }{ 2k \cdot \frac{L}{ \Delta x}} = \frac{F^{2} }{2kL} \Delta x = \frac{1}{18mg} F^{2} \cdot \Delta x$.
Полную энергию намотанной части шнура можно представить геометрически в виде объема пирамиды (рис.б). Представленная схема является "квадратичным" вариантом линейного графика силы, на нем две оси силы и одна ось намотанной длины шнура. Этот трехмерный график образует пирамиду, в основании которой "квадрат силы", так что $F^{2} \cdot \Delta x$ - объем кусочка пирамиды. Это выражение входит в формулу для $\Delta E$. Используя формулу объема пирамиды и формулу для $\Delta E$, получаем значение полной энергии деформации части шнура, намотанной на барабан:
$E = \frac{1}{18mg} \frac{1}{3} (mg)^{2} \cdot 0,1L = \frac{mgL}{540}$.
Теперь можно записать величину работы с учетом приближенной величины поправки:
$A = \frac{mgL}{20} \left ( 1 + \frac{1}{27} \right ) = \frac{28}{540} mgL = \frac{7}{135} mgL \approx 0,05185mgL = \frac{1}{19,29} mgL$.
В заключение получим точное решение и сравним его с приближенным. В ходе намотки шнура его элементы деформируются. Очевидно такое соотношение между длиной недеформированного элемента $dx$ и его измененной длиной при деформации $dy$:
$dy = dx \cdot \frac{L}{L - x}$,
где $x$ - намотанная часть шнура. Работа определяется следующим интегралом:
$A = \int_{0}^{0,1L} k \frac{L}{L - x} x \frac{L}{L - x} dx = 9mgL \int_{0}^{0,1L} \frac{- (L - x) + L }{ (L - x)^{2} } dx = 9mgL \left ( ln 0,9 + \frac{1}{9} \right ) = 0,051755mgL = \frac{1}{19,32}mgL$.
Видно, что отличие от приближенного значения есть, но оно небольшое.
На дне пустого колодца лежит груз массой $m$, к которому привязан невесомый упругий шнур длиной $L$, а второй конец шнура привязан к барабану на уровне его оси (рис.). На шнуре на высоте $\frac{9}{10} L$ от дна колодца находится "метка". В начальный момент времени шнур не деформирован. Какую работу необходимо совершить для того, чтобы оторвать груз от дна колодца? Шнур при наматывании не проскальзывает относительно барабана (как бы прилипает к нему). Известно, что при отрыве груза метка оказывается на высоте оси барабана.
Решение:
Коэффициент упругости части шнура $k_{x}$ связан с коэффициентом упругости всего шнура $k$ соотношением
$k_{x} = k \frac{L}{x}$.
Запишем условие равновесия при отрыве груза от дна колодца:
$mg = k \frac{L}{0,9L} \cdot 0,1L$, или $9mg = kL$.
Далее сделаем приближенную оценку совершенной работы. Минимальная ее величина (заниженная) определяется работой при растяжении шнура от метки до оси барабана. Для этого беремся за метку на шнуре и перемещаем ее до оси барабана. "Работает" только часть шнура длиной $0,9L$ (часть шнура длиной $0,1L$ остается недеформированной), и
$A_{min} = k \frac{L}{0,9 L} \frac{(0,1L)^{2} }{2} = \frac{1}{20} mgL$.
Максимальная величина работы (завышенная) определяется работой при деформации всего шнура до силы натяжения отрыва. Беремся за конец всего шнура и перемещаем его вверх до того момента, пока метка не окажется на уровне оси барабана. При этом сила натяжения шнура равна $mg$, и
$A_{max} = \frac{(mg)^{2} }{2k} = \frac{1}{18} mgL$.
Очевидно, что искомая величина работы при наматывании шнура на барабан лежит в интервале $\left ( \frac{1}{20} - \frac{1}{18} \right ) mgL$. Определим приближенно энергетическую поправку к минимальной величине работы. Будем считать, что часть шнура, намотанного на барабан, деформирована линейно, т.е. сила натяжения частей шнура линейно возрастала в процессе намотки от нуля до $mg$ (рис.а). Энергия намотанного на барабан кусочка шнура длиной $\Delta x$ равна
$\Delta E = \frac{F^{2} }{2k_{ \Delta x} } = \frac{F^{2} }{ 2k \cdot \frac{L}{ \Delta x}} = \frac{F^{2} }{2kL} \Delta x = \frac{1}{18mg} F^{2} \cdot \Delta x$.
Полную энергию намотанной части шнура можно представить геометрически в виде объема пирамиды (рис.б). Представленная схема является "квадратичным" вариантом линейного графика силы, на нем две оси силы и одна ось намотанной длины шнура. Этот трехмерный график образует пирамиду, в основании которой "квадрат силы", так что $F^{2} \cdot \Delta x$ - объем кусочка пирамиды. Это выражение входит в формулу для $\Delta E$. Используя формулу объема пирамиды и формулу для $\Delta E$, получаем значение полной энергии деформации части шнура, намотанной на барабан:
$E = \frac{1}{18mg} \frac{1}{3} (mg)^{2} \cdot 0,1L = \frac{mgL}{540}$.
Теперь можно записать величину работы с учетом приближенной величины поправки:
$A = \frac{mgL}{20} \left ( 1 + \frac{1}{27} \right ) = \frac{28}{540} mgL = \frac{7}{135} mgL \approx 0,05185mgL = \frac{1}{19,29} mgL$.
В заключение получим точное решение и сравним его с приближенным. В ходе намотки шнура его элементы деформируются. Очевидно такое соотношение между длиной недеформированного элемента $dx$ и его измененной длиной при деформации $dy$:
$dy = dx \cdot \frac{L}{L - x}$,
где $x$ - намотанная часть шнура. Работа определяется следующим интегралом:
$A = \int_{0}^{0,1L} k \frac{L}{L - x} x \frac{L}{L - x} dx = 9mgL \int_{0}^{0,1L} \frac{- (L - x) + L }{ (L - x)^{2} } dx = 9mgL \left ( ln 0,9 + \frac{1}{9} \right ) = 0,051755mgL = \frac{1}{19,32}mgL$.
Видно, что отличие от приближенного значения есть, но оно небольшое.
