Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13671
2020-02-29 
В аквариум в форме куба с длиной ребра $2R$ "вписан" конус (ширина аквариума равна диаметру основания конуса, высота конуса равна высоте аквариума ). Аквариум с находящимся в нем конусом полностью залит водой. Определите минимальную работу, которую следует совершить, чтобы "осушить" конус (вынуть его из воды). Плотность воды $\rho_{0}$, плотность материала конуса $\rho$.
Решение:
Сначала найдем положение центра масс конуса. Для этого из конуса "вырежем" пирамидальную дольку (рис.) настолько малую, что будем считать ее пирамидой с треугольным основанием. Центр масс пирамиды лежит на пересечении двух "центральных" линий - линий, соединяющих центр (точку пересечения медиан) поверхностного треугольника с противоположной ему вершиной. Действительно, пирамиду можно представить стопкой горизонтальных треугольников. Центр масс каждого треугольника лежит на пересечении медиан. Центры всех треугольников лежат на центральной линии ab (рис.). Другая центральная линия cd соединяет вершину с с центром бокового треугольника - точкой d. Для определения высоты центра масс рассмотрим пирамиду "в профиль" (рис.). Расчертим "профиль" пирамиды (треугольник) линиями, параллельными центральной линии cd с шагом (ae)/9. При этом, очевидно, центральная линия ab разделится на 8 частей. Поскольку $de = \frac{1}{3} ae, be = \frac{1}{3} ce, ob = \frac{1}{4}ab $, то центр масс пирамиды и, соответственно, конуса лежит на высоте 1/ 4 высоты пирамиды $h$.
Далее расчеты будем проводить приближенно, полагая $\pi = 3$ (в этом приближении запись результатов значительно упрощается). Координату центра масс воды в начальном состоянии определим следующим образом. Будем считать, что куб полностью залит водой, центр масс которой находится в центре куба на высоте $R$. Объем, занимаемый конусом, будем считать дополнительно залитым водой с отрицательной массой, ее центр масс находится на высоте $R/2$. Наложение положительной и отрицательной масс образует правильную "воронку" воды (рис.). Ее центр масс находится на высоте
$y_{в} = \frac{ (2R)^{3} \cdot R - \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R \cdot \frac{R}{2} }{ (2R)^{3} - \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R } \approx \frac{7}{6}R$.
Объем воды равен
$V_{в} = (2R)^{3} - \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R = 2R^{3} \left ( 4 - \frac{ \pi}{3} \right ) \approx 6R^{3}$.
Высота уровня воды при поднятии конуса будет
$h = \frac{V_{в}}{4R^{2} } = \frac{R}{2} \left ( 4 - \frac{ \pi}{3} \right ) \approx \frac{3}{2}R$.
Работа внешних сил равна изменению потенциальной энергии системы (относительно дна аквариума):
$A = \Delta E_{п} = \rho \cdot \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R \cdot g \cdot \frac{3}{2}R + \rho_{в} \cdot 6R^{3} \cdot g \left ( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} R - \frac{7}{6} R \right ) \approx 3 \left ( \rho - \frac{5}{6} \rho_{в} \right )R^{4}g$.
Знак работы может быть различным в зависимости от соотношения плотностей конуса и воды.
Точный результат с использованием числа и выглядит достаточно громоздко:
$A = R^{4}g \left ( \rho \frac{ \pi}{9} (12 - \pi ) - \rho_{в} \frac{1}{18} ((12 - \pi )^{2} - 6 (24 - \pi )) \right )$.
В аквариум в форме куба с длиной ребра $2R$ "вписан" конус (ширина аквариума равна диаметру основания конуса, высота конуса равна высоте аквариума ). Аквариум с находящимся в нем конусом полностью залит водой. Определите минимальную работу, которую следует совершить, чтобы "осушить" конус (вынуть его из воды). Плотность воды $\rho_{0}$, плотность материала конуса $\rho$.
Решение:
Сначала найдем положение центра масс конуса. Для этого из конуса "вырежем" пирамидальную дольку (рис.) настолько малую, что будем считать ее пирамидой с треугольным основанием. Центр масс пирамиды лежит на пересечении двух "центральных" линий - линий, соединяющих центр (точку пересечения медиан) поверхностного треугольника с противоположной ему вершиной. Действительно, пирамиду можно представить стопкой горизонтальных треугольников. Центр масс каждого треугольника лежит на пересечении медиан. Центры всех треугольников лежат на центральной линии ab (рис.). Другая центральная линия cd соединяет вершину с с центром бокового треугольника - точкой d. Для определения высоты центра масс рассмотрим пирамиду "в профиль" (рис.). Расчертим "профиль" пирамиды (треугольник) линиями, параллельными центральной линии cd с шагом (ae)/9. При этом, очевидно, центральная линия ab разделится на 8 частей. Поскольку $de = \frac{1}{3} ae, be = \frac{1}{3} ce, ob = \frac{1}{4}ab $, то центр масс пирамиды и, соответственно, конуса лежит на высоте 1/ 4 высоты пирамиды $h$.
Далее расчеты будем проводить приближенно, полагая $\pi = 3$ (в этом приближении запись результатов значительно упрощается). Координату центра масс воды в начальном состоянии определим следующим образом. Будем считать, что куб полностью залит водой, центр масс которой находится в центре куба на высоте $R$. Объем, занимаемый конусом, будем считать дополнительно залитым водой с отрицательной массой, ее центр масс находится на высоте $R/2$. Наложение положительной и отрицательной масс образует правильную "воронку" воды (рис.). Ее центр масс находится на высоте
$y_{в} = \frac{ (2R)^{3} \cdot R - \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R \cdot \frac{R}{2} }{ (2R)^{3} - \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R } \approx \frac{7}{6}R$.
Объем воды равен
$V_{в} = (2R)^{3} - \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R = 2R^{3} \left ( 4 - \frac{ \pi}{3} \right ) \approx 6R^{3}$.
Высота уровня воды при поднятии конуса будет
$h = \frac{V_{в}}{4R^{2} } = \frac{R}{2} \left ( 4 - \frac{ \pi}{3} \right ) \approx \frac{3}{2}R$.
Работа внешних сил равна изменению потенциальной энергии системы (относительно дна аквариума):
$A = \Delta E_{п} = \rho \cdot \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot 2R \cdot g \cdot \frac{3}{2}R + \rho_{в} \cdot 6R^{3} \cdot g \left ( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} R - \frac{7}{6} R \right ) \approx 3 \left ( \rho - \frac{5}{6} \rho_{в} \right )R^{4}g$.
Знак работы может быть различным в зависимости от соотношения плотностей конуса и воды.
Точный результат с использованием числа и выглядит достаточно громоздко:
$A = R^{4}g \left ( \rho \frac{ \pi}{9} (12 - \pi ) - \rho_{в} \frac{1}{18} ((12 - \pi )^{2} - 6 (24 - \pi )) \right )$.
