Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13670
2020-02-29 
По внутреннему одножильному проводу коаксиального кабеля можно пропустить максимальный постоянный ток $I = 30А$ (при большем токе плавится изоляция). А максимальное напряжение, которое выдерживает изоляция провода, равно $U = 1000 В$ (при большем напряжении изоляция пробивается). Завод из тех же материалов выпустил опытную партию кабеля, у которого все линейные размеры вдвое больше, чем у стандартного кабеля. Какую максимальную мощность можно передать по кабелю из опытной партии, если напряжение в электрической сети $U_{0} = 220 В$? А какова будет максимальная мощность, если напряжение установить максимально возможным?
Решение:
Изоляция кабеля пробивается в том месте, где напряженность электрического поля самая большая, т.е. вблизи поверхности внутреннего провода (центральной жилы). Максимальное допустимое напряжение определяется максимальной напряженностью электрического поля в изоляторе, которая для данного материала изолятора какая-то определенная величина, умноженной на радиус металлического провода внутри изоляции:
$U = E_{max} \int_{R_{min}}^{R_{max} } \frac{R_{min}dx }{x} = E_{max} R_{min} ln \frac{R_{max} }{R_{min} }$.
Поскольку линейные поперечные размеры всех элементов кабеля увеличились вдвое, то напряжение, которое выдержит изоляция, тоже выросло вдвое - до $U_{max} = 2U = 2000 В$, но в сети напряжение все равно только 220 В.
Изоляционный материал начинает плавиться в том месте, где самая высокая температура, т.е. опять же вблизи поверхности внутренней жилы коаксиального кабеля. Поток тепла через изоляцию наружу при установившемся режиме одинаков через любую цилиндрическую поверхность длиной $L$, охватывающую центральную жилу кабеля. Поэтому выполняется такое соотношение:
$W = \beta L \cdot 2 \pi x \frac{dT}{dx}$,
где $\beta$ - коэффициент теплопроводности, $x$ - расстояние от оси симметрии центральной жилы, $\frac{dT}{dx}$ - градиент температуры. Расстояние $x$ изменяется от минимального размера $R_{min}$ до максимального размера $R_{max}$, тогда
$\frac{dT}{dx} = - \frac{W}{ \beta L \cdot 2 \pi x}$.
Отсюда получаем
$T_{R_{min}} = T_{R_{max}} + \frac{W}{ \beta L \cdot 2 \pi} ln \frac{R_{max} }{R_{min} }$.
Из этого соотношения следует, что поток тепла наружу, приходящийся на единицу длины кабеля, должен остаться тем же самым. Значит, мощность джоулевых потерь на единицу длины при максимальной силе тока тоже должна остаться прежней.
Поскольку сопротивление центрального провода уменьшилось в 4 раза, максимальный ток может быть увеличен в 2 раза. В результате через опытный кабель от сети напряжением $U_{0} = 220 В$ можно будет передать максимальную мощность
$P_{max} = 2I \cdot U_{0} = 13,2 кВт$.
А при отсутствии ограничений на напряжение максимальная мощность будет равна
$P_{max}^{*} = 2I \cdot U_{max} = 120 кВт$.
По внутреннему одножильному проводу коаксиального кабеля можно пропустить максимальный постоянный ток $I = 30А$ (при большем токе плавится изоляция). А максимальное напряжение, которое выдерживает изоляция провода, равно $U = 1000 В$ (при большем напряжении изоляция пробивается). Завод из тех же материалов выпустил опытную партию кабеля, у которого все линейные размеры вдвое больше, чем у стандартного кабеля. Какую максимальную мощность можно передать по кабелю из опытной партии, если напряжение в электрической сети $U_{0} = 220 В$? А какова будет максимальная мощность, если напряжение установить максимально возможным?
Решение:
Изоляция кабеля пробивается в том месте, где напряженность электрического поля самая большая, т.е. вблизи поверхности внутреннего провода (центральной жилы). Максимальное допустимое напряжение определяется максимальной напряженностью электрического поля в изоляторе, которая для данного материала изолятора какая-то определенная величина, умноженной на радиус металлического провода внутри изоляции:
$U = E_{max} \int_{R_{min}}^{R_{max} } \frac{R_{min}dx }{x} = E_{max} R_{min} ln \frac{R_{max} }{R_{min} }$.
Поскольку линейные поперечные размеры всех элементов кабеля увеличились вдвое, то напряжение, которое выдержит изоляция, тоже выросло вдвое - до $U_{max} = 2U = 2000 В$, но в сети напряжение все равно только 220 В.
Изоляционный материал начинает плавиться в том месте, где самая высокая температура, т.е. опять же вблизи поверхности внутренней жилы коаксиального кабеля. Поток тепла через изоляцию наружу при установившемся режиме одинаков через любую цилиндрическую поверхность длиной $L$, охватывающую центральную жилу кабеля. Поэтому выполняется такое соотношение:
$W = \beta L \cdot 2 \pi x \frac{dT}{dx}$,
где $\beta$ - коэффициент теплопроводности, $x$ - расстояние от оси симметрии центральной жилы, $\frac{dT}{dx}$ - градиент температуры. Расстояние $x$ изменяется от минимального размера $R_{min}$ до максимального размера $R_{max}$, тогда
$\frac{dT}{dx} = - \frac{W}{ \beta L \cdot 2 \pi x}$.
Отсюда получаем
$T_{R_{min}} = T_{R_{max}} + \frac{W}{ \beta L \cdot 2 \pi} ln \frac{R_{max} }{R_{min} }$.
Из этого соотношения следует, что поток тепла наружу, приходящийся на единицу длины кабеля, должен остаться тем же самым. Значит, мощность джоулевых потерь на единицу длины при максимальной силе тока тоже должна остаться прежней.
Поскольку сопротивление центрального провода уменьшилось в 4 раза, максимальный ток может быть увеличен в 2 раза. В результате через опытный кабель от сети напряжением $U_{0} = 220 В$ можно будет передать максимальную мощность
$P_{max} = 2I \cdot U_{0} = 13,2 кВт$.
А при отсутствии ограничений на напряжение максимальная мощность будет равна
$P_{max}^{*} = 2I \cdot U_{max} = 120 кВт$.
