Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1367
2016-11-18 
Найти скорость оси и угловую скорость вращения катушки с нитками. Катушка катится без проскальзывания, заданы скорость $v_{0}$, с которой тянут нить, внешний $R$ и внутренний $r$ радиуса катушки.
Решение:
Обозначим через $v_{1}$ скорость оси катушки, $\omega$ — угловую скорость вращения катушки относительно ее оси. В условии задачи имеется информация о скорости двух точек катушки: $v_{A} = v_{0}$ и $v_{B} = 0$ (условие отсутствия проскальзывания).
Именно для этих двух точек естественно попытаться применить основное уравнение теории (2). В качестве «неподвижной» системы отсчета удобно выбрать Землю, в качестве «движущейся» — ось катушки. При таком выборе движение катушки в подвижной системе отсчета представляет собой вращение вокруг оси О.
$\vec{v}_{A} = \vec{v}_{1} + \vec{A}^{ \prime}$, (1)
$\vec{v}_{B} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{B}^{ \prime}$.
Направления скоростей точек А и В относительно ?движущейся» системы отсчета указаны на рисунке. Модули этих скоростей определяются соотношениями:
$v_{A}^{ \prime} = \omega r$, (3)
$v_{B}^{ \prime} = \omega R$ (4)
(движение катушки относительно оси («движущейся» системы отсчета) представляет собой простое вращение).
Проецируя векторные равенства (1—2) на ось х и подставляя соотношения (3—4), находим:
$v_{0} = v_{1} - \omega r$,
$v_{1} - \omega R = 0$.
Решение этой системы уравнений имеет вид:
$\omega = \frac{v_{0}}{R-r}$,
$v_{1} = v_{0} \frac{R}{R-r}$.
Нередко у школьников возникают затруднения при ответе на вопрос о величине ускорения различных точек катушки.
Воспользуемся основным уравнением теории:
$\vec{a} = \vec{a}_{1} + \vec{a}^{ \prime}$.
Поскольку в нашем случаем $a_{1} = 0$ (скорость оси постоянна), имеем:
$\vec{a} = \vec{a}^{ \prime}$.
То есть ускорение любой точки катушки относительно Земли совпадет с ускорением этой точки относительно оси. Из кинематики вращательного движения известно, что ускорение равномерно вращающейся по окружности точки направлено к центру вращения и равно по модулю $a^{ \prime} = \omega^{2} x$ ( $x$ — расстояние от точки до центра вращения). Так, например, ускорение точки С показано на рисунке.
Для самостоятельного решения полезно рассмотреть случай, когда нить тянут со скоростью $\vec{v}_{0}$, которая направлена под углом а к горизонту.
Найти скорость оси и угловую скорость вращения катушки с нитками. Катушка катится без проскальзывания, заданы скорость $v_{0}$, с которой тянут нить, внешний $R$ и внутренний $r$ радиуса катушки.
Решение:
Обозначим через $v_{1}$ скорость оси катушки, $\omega$ — угловую скорость вращения катушки относительно ее оси. В условии задачи имеется информация о скорости двух точек катушки: $v_{A} = v_{0}$ и $v_{B} = 0$ (условие отсутствия проскальзывания).
Именно для этих двух точек естественно попытаться применить основное уравнение теории (2). В качестве «неподвижной» системы отсчета удобно выбрать Землю, в качестве «движущейся» — ось катушки. При таком выборе движение катушки в подвижной системе отсчета представляет собой вращение вокруг оси О.
$\vec{v}_{A} = \vec{v}_{1} + \vec{A}^{ \prime}$, (1)
$\vec{v}_{B} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{B}^{ \prime}$.
Направления скоростей точек А и В относительно ?движущейся» системы отсчета указаны на рисунке. Модули этих скоростей определяются соотношениями:
$v_{A}^{ \prime} = \omega r$, (3)
$v_{B}^{ \prime} = \omega R$ (4)
(движение катушки относительно оси («движущейся» системы отсчета) представляет собой простое вращение).
Проецируя векторные равенства (1—2) на ось х и подставляя соотношения (3—4), находим:
$v_{0} = v_{1} - \omega r$,
$v_{1} - \omega R = 0$.
Решение этой системы уравнений имеет вид:
$\omega = \frac{v_{0}}{R-r}$,
$v_{1} = v_{0} \frac{R}{R-r}$.
Нередко у школьников возникают затруднения при ответе на вопрос о величине ускорения различных точек катушки.
Воспользуемся основным уравнением теории:
$\vec{a} = \vec{a}_{1} + \vec{a}^{ \prime}$.
Поскольку в нашем случаем $a_{1} = 0$ (скорость оси постоянна), имеем:
$\vec{a} = \vec{a}^{ \prime}$.
То есть ускорение любой точки катушки относительно Земли совпадет с ускорением этой точки относительно оси. Из кинематики вращательного движения известно, что ускорение равномерно вращающейся по окружности точки направлено к центру вращения и равно по модулю $a^{ \prime} = \omega^{2} x$ ( $x$ — расстояние от точки до центра вращения). Так, например, ускорение точки С показано на рисунке.
Для самостоятельного решения полезно рассмотреть случай, когда нить тянут со скоростью $\vec{v}_{0}$, которая направлена под углом а к горизонту.
