Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13669
2020-02-29 
В электрической схеме, изображенной на рисунке, $R = 100 Ом, C = 1 Ф$. Когда ключ находится в положении 1, амперметр показывает ток $I = 0,1 А$. Когда ключ перекинули в положение 2, амперметр в первое мгновение зарегистрировал ток $I_{2} = 0,15 А$. Какова величина ЭДС батарейки? Какое количество теплоты выделилось в резисторе после переброски ключа? Какую работу совершили сторонние силы в батарейке за промежуток времени от момента переключения до момента, когда амперметр снова показал ток 0,1 А?
Решение:
Обозначим ЭДС батарейки через $\mathcal{E}$. Ясно, что $\mathcal{E} = I \cdot 2R = 20 B$. Будем считать, что в положении ключа 1 амперметр показывает положительное значение тока. Сразу после переброски ключа в положение 2 амперметр мог показать +0,15 А, а мог показать -0,15 А. Это означает, что конденсатор до переброски ключа мог быть заряжен по-разному. Либо его верхняя (по рисунку) пластина имела потенциал больший, чем нижняя, на $\frac{ \mathcal{E}}{4}$, и тогда ток после переброски ключа равен $\frac{ \mathcal{E} - \frac{ \mathcal{E} }{4} }{R} = + 0,15 А$. Либо верхняя и пластина конденсатора имела потенциал, больший потенциала нижней пластины, на $\frac{7 \mathcal{E}}{4}$, тогда ток после переброски ключа равен $\frac{ \mathcal{E} - \frac{7 \mathcal{E} }{4} }{R} = -0,15 A$. Начальный запас энергии в батарейке и в конденсаторе равен $\frac{CU^{2}}{2} + W$, где $U$ - это напряжение на конденсаторе до переброски ключа, $W$ - энергия батарейки. Запас энергии после переброски ключа и установления равновесия равен $\frac{C \mathcal{E}^{2}}{2} + (W - \mathcal{E}q)$, где $q$ - заряд, прошедший по цепи во время перезарядки конденсатора. В первом случае, при $U_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{4}$, этот заряд равен $q_{1} = \frac{3C \mathcal{E}}{4}$. Во втором случае, при $U_{2} = \frac{7 \mathcal{E}}{4}$, этот заряд равен $q_{2} = - \frac{3C \mathcal{E}}{4}$. В результате количество теплоты, выделившееся в резисторе, в первом случае равно
$Q_{1} = \left ( \frac{C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{4} \right )^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{C \mathcal{E}^{2}}{2} + \left ( W - \frac{3 \mathcal{E}^{2} }{4} \right ) \right ) = \frac{9C \mathcal{E}^{2} }{32} = 112,5 Дж$,
а во втором случае -
$Q_{2} = \left ( \frac{C \left ( \frac{7 \mathcal{E} }{4} \right )^{2} }{2} + W \right ) - \left ( \frac{C \mathcal{E}^{2}}{2} + \left ( W + \frac{3 \mathcal{E}^{2} }{4} \right ) \right ) = \frac{9C \mathcal{E}^{2} }{32} = 112,5 Дж$,
Как видно, количество теплоты, выделившееся в резисторе за время установления равновесия, в обоих случаях одно и то же. К моменту, когда амперметр снова покажет ток 0,1 А, напряжение на резисторе уменьшится от значения $\frac{3 \mathcal{E}}{4}$ до значения $\frac{ \mathcal{E}}{2}$. Это соответствует тому, что через батарейку прошел заряд, равный по модулю $\frac{C \mathcal{E}}{4}$. А работа батарейки будет либо положительной и равной $+ \frac{C \mathcal{E}^{2}}{4} = 100 Дж$ (в первом случае батарейка отдает энергию во внешнюю цепь), либо отрицательной и равной $- \frac{C \mathcal{E}^{2}}{4} = -100 Дж$ (во втором случае батарейка получает энергию из внешней цепи).
В электрической схеме, изображенной на рисунке, $R = 100 Ом, C = 1 Ф$. Когда ключ находится в положении 1, амперметр показывает ток $I = 0,1 А$. Когда ключ перекинули в положение 2, амперметр в первое мгновение зарегистрировал ток $I_{2} = 0,15 А$. Какова величина ЭДС батарейки? Какое количество теплоты выделилось в резисторе после переброски ключа? Какую работу совершили сторонние силы в батарейке за промежуток времени от момента переключения до момента, когда амперметр снова показал ток 0,1 А?
Решение:
Обозначим ЭДС батарейки через $\mathcal{E}$. Ясно, что $\mathcal{E} = I \cdot 2R = 20 B$. Будем считать, что в положении ключа 1 амперметр показывает положительное значение тока. Сразу после переброски ключа в положение 2 амперметр мог показать +0,15 А, а мог показать -0,15 А. Это означает, что конденсатор до переброски ключа мог быть заряжен по-разному. Либо его верхняя (по рисунку) пластина имела потенциал больший, чем нижняя, на $\frac{ \mathcal{E}}{4}$, и тогда ток после переброски ключа равен $\frac{ \mathcal{E} - \frac{ \mathcal{E} }{4} }{R} = + 0,15 А$. Либо верхняя и пластина конденсатора имела потенциал, больший потенциала нижней пластины, на $\frac{7 \mathcal{E}}{4}$, тогда ток после переброски ключа равен $\frac{ \mathcal{E} - \frac{7 \mathcal{E} }{4} }{R} = -0,15 A$. Начальный запас энергии в батарейке и в конденсаторе равен $\frac{CU^{2}}{2} + W$, где $U$ - это напряжение на конденсаторе до переброски ключа, $W$ - энергия батарейки. Запас энергии после переброски ключа и установления равновесия равен $\frac{C \mathcal{E}^{2}}{2} + (W - \mathcal{E}q)$, где $q$ - заряд, прошедший по цепи во время перезарядки конденсатора. В первом случае, при $U_{1} = \frac{ \mathcal{E}}{4}$, этот заряд равен $q_{1} = \frac{3C \mathcal{E}}{4}$. Во втором случае, при $U_{2} = \frac{7 \mathcal{E}}{4}$, этот заряд равен $q_{2} = - \frac{3C \mathcal{E}}{4}$. В результате количество теплоты, выделившееся в резисторе, в первом случае равно
$Q_{1} = \left ( \frac{C \left ( \frac{ \mathcal{E} }{4} \right )^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{C \mathcal{E}^{2}}{2} + \left ( W - \frac{3 \mathcal{E}^{2} }{4} \right ) \right ) = \frac{9C \mathcal{E}^{2} }{32} = 112,5 Дж$,
а во втором случае -
$Q_{2} = \left ( \frac{C \left ( \frac{7 \mathcal{E} }{4} \right )^{2} }{2} + W \right ) - \left ( \frac{C \mathcal{E}^{2}}{2} + \left ( W + \frac{3 \mathcal{E}^{2} }{4} \right ) \right ) = \frac{9C \mathcal{E}^{2} }{32} = 112,5 Дж$,
Как видно, количество теплоты, выделившееся в резисторе за время установления равновесия, в обоих случаях одно и то же. К моменту, когда амперметр снова покажет ток 0,1 А, напряжение на резисторе уменьшится от значения $\frac{3 \mathcal{E}}{4}$ до значения $\frac{ \mathcal{E}}{2}$. Это соответствует тому, что через батарейку прошел заряд, равный по модулю $\frac{C \mathcal{E}}{4}$. А работа батарейки будет либо положительной и равной $+ \frac{C \mathcal{E}^{2}}{4} = 100 Дж$ (в первом случае батарейка отдает энергию во внешнюю цепь), либо отрицательной и равной $- \frac{C \mathcal{E}^{2}}{4} = -100 Дж$ (во втором случае батарейка получает энергию из внешней цепи).
