Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13665
2020-02-29 
Гантелька длиной $L$ с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ на концах, будучи подвешена в точке О, совершает малые колебания в окрестности устойчивого равновесия, оставаясь в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис.). Найдите частоту и период этих колебаний, если точка подвеса удалена от центра масс - точки С - на расстояние $d$.
Решение:
Пусть, для некоторого момента времени, $\phi$ - угол отклонения гантельки от проходящей через точку O вертикали (рис.), $\Omega$ - угловая скорость вращения гантельки. Кинетическая энергия гантельки равна
$E_{к} = \frac{I_{O} \Omega^{2}}{2}$,
где $I_{O}$ - момент инерции гантельки относительно оси вращения. Согласно теореме Штейнера,
$I_{O} = I_{C} + (m_{1} + m_{2}) d^{2}$,
где $I_{C}$ - момент инерции гантельки относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс C. При этом
$I_{C} = m_{1} AC^{2} + m_{2} CB^{2} = m_{1} \left ( \frac{m_{2}l }{m_{1} + m_{2} } \right )^{2} + m_{2} \left ( \frac{m_{1}l }{m_{1} + m_{2} } \right )^{2} = \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } l^{2}$.
Потенциальная энергия гантельки равна
$E_{п} = (m_{1} + m_{2}) gd (1 - \cos \phi )$,
или, в случае малых отклонений гантель-ки от вертикали,
$E_{п} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} ) gd \phi^{2}$.
Для малых колебаний закон сохранения энергии имеет вид
$E_{к} + E_{п} = \frac{1}{2} ( I_{O} \Omega^{2} + (m_{1} + m_{2}) gd \phi^{2} ) = \frac{I_{O} }{2} ( \Omega^{2} + \omega^{2} \phi^{2} ) = const$.
Отсюда для частоты $\omega$ малых колебаний получаем
$\omega^{2} = \frac{(m_{1} + m_{2}) gd}{I_{O} } = \frac{(m_{1} + m_{2} )gd }{ \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } l^{2} + (m_{1} + m_{2} )d^{2} }$.
Период колебаний, как обычно, находится из соотношения
$T = \frac{2 \pi}{ \omega }$.
Полезно исследовать зависимость частоты и периода колебаний от положения точки подвеса. Для этого введем безразмерные параметры
$\mu = \frac{m_{1}m_{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} }, x = \frac{d}{l} > 0$,
с помощью которых выражение для квадрата частоты колебаний представимо в виде
$\omega^{2} = \frac{g}{l} \frac{x}{x^{2} + \mu }$.
Это выражение, как функция от $x$, достигает максимума при $x_{*} = \sqrt{ \mu}$, при этом
$\omega_{max}^{2} = \frac{g}{l} \frac{x_{*} }{x_{*}^{2} + \mu } = \frac{1}{2 \sqrt{ \mu} } \frac{g}{l}$.
Этой частоте соответствует минимальный период колебаний
$T_{min} = \frac{2 \pi}{ \omega_{max} }$.
Так, например, если массы на концах гантельки равны, то $\mu = \frac{1}{4}$ и $T_{min} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$, причем гантелька оказывается подвешенной за один из своих концов.
Замечание. Оказывается, неважно, с какой стороны от центра масс располагается точка подвеса. Более того, если подвесить (например, с помощью невесомых и нерастяжимых нитей) гантельку в любой точке окружности радиусом $d$ с центром в точке С (рис.), то период колебаний такой системы вновь будет тем же самым. Подобное свойство имеет место и для произвольных физических маятников.
Гантелька длиной $L$ с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ на концах, будучи подвешена в точке О, совершает малые колебания в окрестности устойчивого равновесия, оставаясь в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис.). Найдите частоту и период этих колебаний, если точка подвеса удалена от центра масс - точки С - на расстояние $d$.
Решение:
Пусть, для некоторого момента времени, $\phi$ - угол отклонения гантельки от проходящей через точку O вертикали (рис.), $\Omega$ - угловая скорость вращения гантельки. Кинетическая энергия гантельки равна
$E_{к} = \frac{I_{O} \Omega^{2}}{2}$,
где $I_{O}$ - момент инерции гантельки относительно оси вращения. Согласно теореме Штейнера,
$I_{O} = I_{C} + (m_{1} + m_{2}) d^{2}$,
где $I_{C}$ - момент инерции гантельки относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс C. При этом
$I_{C} = m_{1} AC^{2} + m_{2} CB^{2} = m_{1} \left ( \frac{m_{2}l }{m_{1} + m_{2} } \right )^{2} + m_{2} \left ( \frac{m_{1}l }{m_{1} + m_{2} } \right )^{2} = \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } l^{2}$.
Потенциальная энергия гантельки равна
$E_{п} = (m_{1} + m_{2}) gd (1 - \cos \phi )$,
или, в случае малых отклонений гантель-ки от вертикали,
$E_{п} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} ) gd \phi^{2}$.
Для малых колебаний закон сохранения энергии имеет вид
$E_{к} + E_{п} = \frac{1}{2} ( I_{O} \Omega^{2} + (m_{1} + m_{2}) gd \phi^{2} ) = \frac{I_{O} }{2} ( \Omega^{2} + \omega^{2} \phi^{2} ) = const$.
Отсюда для частоты $\omega$ малых колебаний получаем
$\omega^{2} = \frac{(m_{1} + m_{2}) gd}{I_{O} } = \frac{(m_{1} + m_{2} )gd }{ \frac{m_{1}m_{2} }{m_{1} + m_{2} } l^{2} + (m_{1} + m_{2} )d^{2} }$.
Период колебаний, как обычно, находится из соотношения
$T = \frac{2 \pi}{ \omega }$.
Полезно исследовать зависимость частоты и периода колебаний от положения точки подвеса. Для этого введем безразмерные параметры
$\mu = \frac{m_{1}m_{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} }, x = \frac{d}{l} > 0$,
с помощью которых выражение для квадрата частоты колебаний представимо в виде
$\omega^{2} = \frac{g}{l} \frac{x}{x^{2} + \mu }$.
Это выражение, как функция от $x$, достигает максимума при $x_{*} = \sqrt{ \mu}$, при этом
$\omega_{max}^{2} = \frac{g}{l} \frac{x_{*} }{x_{*}^{2} + \mu } = \frac{1}{2 \sqrt{ \mu} } \frac{g}{l}$.
Этой частоте соответствует минимальный период колебаний
$T_{min} = \frac{2 \pi}{ \omega_{max} }$.
Так, например, если массы на концах гантельки равны, то $\mu = \frac{1}{4}$ и $T_{min} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$, причем гантелька оказывается подвешенной за один из своих концов.
Замечание. Оказывается, неважно, с какой стороны от центра масс располагается точка подвеса. Более того, если подвесить (например, с помощью невесомых и нерастяжимых нитей) гантельку в любой точке окружности радиусом $d$ с центром в точке С (рис.), то период колебаний такой системы вновь будет тем же самым. Подобное свойство имеет место и для произвольных физических маятников.
