Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13664
2020-02-29 
На горизонтальной дороге перед красным светофором скопилась колонна одинаковых по массе легковых автомобилей (см. рисунок). Дорога скользкая, коэффициент трения колес о дорогу $\mu = 0,264$. Расстояния между стоящими друг за другом автомобилями $l = 0,3 м$. Все машины в стоящей колонне одинаково удерживаются на месте системами ручного тормоза, действующими только на задние колеса (блокируется их вращение). У очередной подъезжавшей к неподвижной колонне легковой автомашины "отказала" основная система тормозов, но водитель успел дернуть рычаг ручного тормоза за секунду до столкновения, т.е. его автомобиль тормозил не очень эффективной системой ручного тормоза. Аварии избежать не удалось, и автомобиль с неисправными тормозами "собрал" перед собой четыре автомобиля. Удары автомобилей были абсолютно неупругие, т.е. после столкновения автомобили "сцеплялись" друг с другом. Какой была скорость автомобиля виновника аварии на расстоянии $l$ от первого пострадавшего автомобиля, если пятому на очереди автомобилю "повезло" - к нему "сборка" только прикоснулась? Нагрузка на колеса всех автомобилей распределялась равномерно.
Решение:
Пусть после очередного столкновения n сцепленных автомобилей имеют импульс $p_{n}$, а импульс этих автомобилей после торможения и за мгновение до столкновения с $(n + 1)$-м автомобилем равен $p_{n}^{*}$. Для процесса торможения можно записать
$\frac{ \mu}{2} nmgl = \frac{p_{n}^{2} - p_{n}^{*2} }{2nm}$,
откуда
$p_{n^{*} }^{2} = p_{n}^{2} - \mu (nm)^{2} gl$.
Здесь учтено, что тормозят только задние колеса и что нагрузка на колеса распределена равномерно. Используя полученное рекуррентное соотношение, для момента остановки можно записать
$0 = p_{1}^{2} - \mu m^{2}gl \sum_{1}^{N} n^{2}$,
где $N$ - число автомобилей в "сборке", включая автомобиль виновника аварии. Сумму квадратов вычисляем по известной формуле
$\sum_{1}^{N} n^{2} = \frac{N (N + 1)(2N + 1)}{6}$.
В итоге получаем
$m^{2} v_{0}^{2} = \mu m^{2} gl \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6}$,
или
$v_{0} = \sqrt{gl \mu \frac{N(N+1)(2N + 1)}{6} }$.
Если $\mu = 0,264, l = 0,3 м, N = 5, g = 10 м/с^{2}$, то
$v_{0} = \sqrt{10 \cdot 0,3 \cdot 0,264 \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6}} м/с = 6,6 м/с$.
На горизонтальной дороге перед красным светофором скопилась колонна одинаковых по массе легковых автомобилей (см. рисунок). Дорога скользкая, коэффициент трения колес о дорогу $\mu = 0,264$. Расстояния между стоящими друг за другом автомобилями $l = 0,3 м$. Все машины в стоящей колонне одинаково удерживаются на месте системами ручного тормоза, действующими только на задние колеса (блокируется их вращение). У очередной подъезжавшей к неподвижной колонне легковой автомашины "отказала" основная система тормозов, но водитель успел дернуть рычаг ручного тормоза за секунду до столкновения, т.е. его автомобиль тормозил не очень эффективной системой ручного тормоза. Аварии избежать не удалось, и автомобиль с неисправными тормозами "собрал" перед собой четыре автомобиля. Удары автомобилей были абсолютно неупругие, т.е. после столкновения автомобили "сцеплялись" друг с другом. Какой была скорость автомобиля виновника аварии на расстоянии $l$ от первого пострадавшего автомобиля, если пятому на очереди автомобилю "повезло" - к нему "сборка" только прикоснулась? Нагрузка на колеса всех автомобилей распределялась равномерно.
Решение:
Пусть после очередного столкновения n сцепленных автомобилей имеют импульс $p_{n}$, а импульс этих автомобилей после торможения и за мгновение до столкновения с $(n + 1)$-м автомобилем равен $p_{n}^{*}$. Для процесса торможения можно записать
$\frac{ \mu}{2} nmgl = \frac{p_{n}^{2} - p_{n}^{*2} }{2nm}$,
откуда
$p_{n^{*} }^{2} = p_{n}^{2} - \mu (nm)^{2} gl$.
Здесь учтено, что тормозят только задние колеса и что нагрузка на колеса распределена равномерно. Используя полученное рекуррентное соотношение, для момента остановки можно записать
$0 = p_{1}^{2} - \mu m^{2}gl \sum_{1}^{N} n^{2}$,
где $N$ - число автомобилей в "сборке", включая автомобиль виновника аварии. Сумму квадратов вычисляем по известной формуле
$\sum_{1}^{N} n^{2} = \frac{N (N + 1)(2N + 1)}{6}$.
В итоге получаем
$m^{2} v_{0}^{2} = \mu m^{2} gl \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6}$,
или
$v_{0} = \sqrt{gl \mu \frac{N(N+1)(2N + 1)}{6} }$.
Если $\mu = 0,264, l = 0,3 м, N = 5, g = 10 м/с^{2}$, то
$v_{0} = \sqrt{10 \cdot 0,3 \cdot 0,264 \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6}} м/с = 6,6 м/с$.
