Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13663
2020-02-29 
В результате столкновения астероидов образовались два осколка, разлетающиеся с одинаковыми скоростями, направленными под углом $\phi$ друг к другу. Найдите отношение полуосей орбиты первого осколка, если орбита второго оказалась круговой. Орбиты осколков лежат в одной плоскости.
Решение:
В начальный момент оба осколка находятся на одинаковом расстоянии от Солнца и имеют одинаковые скорости, поэтому у них одинаковы удельные энергии. Удельная энергия тела $\epsilon$ однозначно определяет величину большой полуоси орбиты. Это следует из формулы
$\epsilon = \frac{v^{2} }{2} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{2a}$,
вытекающей из второго закона Кеплера и закона сохранения энергии. Следовательно, величина большой полуоси $a$ орбиты первого тела равна радиусу $R$ круговой орбиты второго тела и, кроме того, расстояния от тел до Солнца в начальный момент также равны $R$.
Как известно, эллипс представляет собой множество точек, для которых сумма расстояний до фокусов одинакова. Приравнивая эти суммы для точек A и B (рис.):
$L_{A} = AF_{1} + AF_{2} = F_{2}C + AF_{2} = 2a$,
$L_{B} = 2F_{1}B$,
находим, что $F_{1}B = a$, т.е. в начальный момент первое тело находится как раз в точке В своей орбиты и угол $\phi$ между скоростями равен углу $F_{1}BO$.
Теперь легко получить ответ (рис.):
$\frac{b}{a} = \cos \phi$.
Заметим, что по третьему закону Кеплера равенство больших полуосей означает равенство периодов. Это означает, что через один оборот осколки столкнутся в той же точке, где образовались.
В результате столкновения астероидов образовались два осколка, разлетающиеся с одинаковыми скоростями, направленными под углом $\phi$ друг к другу. Найдите отношение полуосей орбиты первого осколка, если орбита второго оказалась круговой. Орбиты осколков лежат в одной плоскости.
Решение:
В начальный момент оба осколка находятся на одинаковом расстоянии от Солнца и имеют одинаковые скорости, поэтому у них одинаковы удельные энергии. Удельная энергия тела $\epsilon$ однозначно определяет величину большой полуоси орбиты. Это следует из формулы
$\epsilon = \frac{v^{2} }{2} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{2a}$,
вытекающей из второго закона Кеплера и закона сохранения энергии. Следовательно, величина большой полуоси $a$ орбиты первого тела равна радиусу $R$ круговой орбиты второго тела и, кроме того, расстояния от тел до Солнца в начальный момент также равны $R$.
Как известно, эллипс представляет собой множество точек, для которых сумма расстояний до фокусов одинакова. Приравнивая эти суммы для точек A и B (рис.):
$L_{A} = AF_{1} + AF_{2} = F_{2}C + AF_{2} = 2a$,
$L_{B} = 2F_{1}B$,
находим, что $F_{1}B = a$, т.е. в начальный момент первое тело находится как раз в точке В своей орбиты и угол $\phi$ между скоростями равен углу $F_{1}BO$.
Теперь легко получить ответ (рис.):
$\frac{b}{a} = \cos \phi$.
Заметим, что по третьему закону Кеплера равенство больших полуосей означает равенство периодов. Это означает, что через один оборот осколки столкнутся в той же точке, где образовались.
