Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13662
2020-02-29 
На сферическую границу раздела двух сред падает произвольный (приосевой) луч. На рисунке 1 граница раздела сред аппроксимирована (приосевое приближение) плоскостью, пересекающей ось системы в точке Р. Постройте дальнейший ход луча, если заданы передний $F_{1}$ и задний $F_{2}$ фокусы системы для выбранной оси.
Решение:
При решении аналогичной задачи с линзой можно было использовать в качестве вспомогательного любой из двух параллельных заданному базовых лучей: либо идущий через оптический центр, либо - через передний фокус. Аналогом первого луча в нашем случае является луч, проходящий через центр О сферической границы раздела (показан пунктиром на рисунке), но центр этот нам не задан. Луч, пересекающий границу в точке Р, не может быть использован для построений, ибо он "ломается" в этой точке. Остается только луч, идущий через передний фокус. После преломления он пойдет параллельно выбранной главной оптической оси $F_{1}F_{2}$. Проведем заднюю фокальную плоскость и найдем точку М ее пересечения с этим лучом. Через нее и пройдет преломленный заданный падающий луч.
Замечание 1. В рассуждениях использовался факт существования задней фокальной плоскости сферической границы раздела. хотя при выводе формулы преломления на сферической поверхности понятие фокальной плоскости обычно вообще не вводится. Однако ситуация тут тривиальная. Совершенно очевидно, что фокальными поверхностями здесь будут сферы радиусами $OF_{1}$ и $OF_{2}$, которые в параксиальном приближении аппроксимируются перпендикулярными главной оптической оси плоскостями.
Замечание 2. Хотя центр границы раздела нам не задан, он легко находится. В самом деле, полагая в формуле преломления на сферической поверхности
$\frac{1}{d} + \frac{n}{f} = \frac{(n - 1)}{R}$
($d$ - расстояние до источника, $f$ - до изображения) сначала $d \rightarrow \infty$, а затем $f \rightarrow \infty$, найдем, соответственно,
$F_{2} = \frac{n}{n - 1} R, F_{1} = \frac{1}{n - 1}R$,
откуда для любого п получим
$F_{2} - F_{1} = R$.
Стало быть, центр О данной сферической поверхности лежит на расстоянии $F_{2} - F_{1}$ отточки Р. Луч, параллельный заданному и проходящий через этот центр (проведен пунктиром на рисунке), не испытывает преломления, как идущий вдоль радиуса, и потому может также быть использован для нахождения точки М.
На сферическую границу раздела двух сред падает произвольный (приосевой) луч. На рисунке 1 граница раздела сред аппроксимирована (приосевое приближение) плоскостью, пересекающей ось системы в точке Р. Постройте дальнейший ход луча, если заданы передний $F_{1}$ и задний $F_{2}$ фокусы системы для выбранной оси.
Решение:
При решении аналогичной задачи с линзой можно было использовать в качестве вспомогательного любой из двух параллельных заданному базовых лучей: либо идущий через оптический центр, либо - через передний фокус. Аналогом первого луча в нашем случае является луч, проходящий через центр О сферической границы раздела (показан пунктиром на рисунке), но центр этот нам не задан. Луч, пересекающий границу в точке Р, не может быть использован для построений, ибо он "ломается" в этой точке. Остается только луч, идущий через передний фокус. После преломления он пойдет параллельно выбранной главной оптической оси $F_{1}F_{2}$. Проведем заднюю фокальную плоскость и найдем точку М ее пересечения с этим лучом. Через нее и пройдет преломленный заданный падающий луч.
Замечание 1. В рассуждениях использовался факт существования задней фокальной плоскости сферической границы раздела. хотя при выводе формулы преломления на сферической поверхности понятие фокальной плоскости обычно вообще не вводится. Однако ситуация тут тривиальная. Совершенно очевидно, что фокальными поверхностями здесь будут сферы радиусами $OF_{1}$ и $OF_{2}$, которые в параксиальном приближении аппроксимируются перпендикулярными главной оптической оси плоскостями.
Замечание 2. Хотя центр границы раздела нам не задан, он легко находится. В самом деле, полагая в формуле преломления на сферической поверхности
$\frac{1}{d} + \frac{n}{f} = \frac{(n - 1)}{R}$
($d$ - расстояние до источника, $f$ - до изображения) сначала $d \rightarrow \infty$, а затем $f \rightarrow \infty$, найдем, соответственно,
$F_{2} = \frac{n}{n - 1} R, F_{1} = \frac{1}{n - 1}R$,
откуда для любого п получим
$F_{2} - F_{1} = R$.
Стало быть, центр О данной сферической поверхности лежит на расстоянии $F_{2} - F_{1}$ отточки Р. Луч, параллельный заданному и проходящий через этот центр (проведен пунктиром на рисунке), не испытывает преломления, как идущий вдоль радиуса, и потому может также быть использован для нахождения точки М.
