Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13661
2020-02-29 
Конденсаторы емкостями $C_{1}, C_{2}, \cdots , C_{n}$ заряжают до напряжений $U_{1}, U_{2}, \cdots , U_{n}$ соответственно (при этом суммарный заряд пластин каждого конденсатора, естественно, равен нулю). Затем из конденсаторов образуют последовательную цепочку, свободные концы которой соединяют друг с другом. Найдите заряд $q$, прошедший по цепи.
Решение:
Единственное условие, которому подчиняется распределение зарядов на поверхности системы проводников, - это равенство нулю напряженности поля в каждой точке внутри каждого проводника. Теорема единственности утверждает, что такое распределение всегда существует и оно единственно, т.е. других распределений, удовлетворяющих данному условию, нет. Это обстоятельство позволяет в ряде ситуаций представить искомую систему зарядов в виде суперпозиции двух или нескольких более простых подсистем, каждая из которых (в отдельности) не создает поля ни в одном из имеющихся проводников. Попробуем использовать эту методику при решении данной задачи.
Пусть $q_{i}$ - алгебраическая величина заряда на левой обкладке $i$-го конденсатора (см. рисунок). Тогда
$U = \phi_{A} - \phi_{B} = \sum_{i=1}^{n} U_{i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{q_{i} }{C_{i} }$,
причем система зарядов $\{ q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{n} \}$ не создает поля ни в одном из проводников рассматриваемой схемы. Возьмем такую же цепочку незаряженных конденсаторов и зарядим ее до такого же, но противоположного по знаку напряжения $-U = \phi_{B} - \phi_{A}$. При этом, очевидно, на правой обкладке каждого конденсатора окажется заряд
$q = UC_{экв} = \frac{U}{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{C_{i} }}$,
и ни в одном из проводников нашей схемы также не возникнет электрического поля. Наложим теперь эти два распределения друг на друга. Поскольку каждое из них порознь не создает поля ни в одном из проводников, простая их суперпозиция (без взаимного искажения) его там тоже не создаст. Поля в каждой точке и напряжения на каждом участке, очевидно, сложатся, и потенциалы точек А и В сравняются. Но эта картина и есть конечное состояние системы. Стало быть, по цепи в направлении от В к А протечет заряд
$q = \frac{ \sum_{i=1}^{n} U_{i} }{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{C_{i} } }$.
Конденсаторы емкостями $C_{1}, C_{2}, \cdots , C_{n}$ заряжают до напряжений $U_{1}, U_{2}, \cdots , U_{n}$ соответственно (при этом суммарный заряд пластин каждого конденсатора, естественно, равен нулю). Затем из конденсаторов образуют последовательную цепочку, свободные концы которой соединяют друг с другом. Найдите заряд $q$, прошедший по цепи.
Решение:
Единственное условие, которому подчиняется распределение зарядов на поверхности системы проводников, - это равенство нулю напряженности поля в каждой точке внутри каждого проводника. Теорема единственности утверждает, что такое распределение всегда существует и оно единственно, т.е. других распределений, удовлетворяющих данному условию, нет. Это обстоятельство позволяет в ряде ситуаций представить искомую систему зарядов в виде суперпозиции двух или нескольких более простых подсистем, каждая из которых (в отдельности) не создает поля ни в одном из имеющихся проводников. Попробуем использовать эту методику при решении данной задачи.
Пусть $q_{i}$ - алгебраическая величина заряда на левой обкладке $i$-го конденсатора (см. рисунок). Тогда
$U = \phi_{A} - \phi_{B} = \sum_{i=1}^{n} U_{i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{q_{i} }{C_{i} }$,
причем система зарядов $\{ q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{n} \}$ не создает поля ни в одном из проводников рассматриваемой схемы. Возьмем такую же цепочку незаряженных конденсаторов и зарядим ее до такого же, но противоположного по знаку напряжения $-U = \phi_{B} - \phi_{A}$. При этом, очевидно, на правой обкладке каждого конденсатора окажется заряд
$q = UC_{экв} = \frac{U}{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{C_{i} }}$,
и ни в одном из проводников нашей схемы также не возникнет электрического поля. Наложим теперь эти два распределения друг на друга. Поскольку каждое из них порознь не создает поля ни в одном из проводников, простая их суперпозиция (без взаимного искажения) его там тоже не создаст. Поля в каждой точке и напряжения на каждом участке, очевидно, сложатся, и потенциалы точек А и В сравняются. Но эта картина и есть конечное состояние системы. Стало быть, по цепи в направлении от В к А протечет заряд
$q = \frac{ \sum_{i=1}^{n} U_{i} }{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{C_{i} } }$.
