Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13657
2020-02-29 
По круглому стержню длиной $l$ и радиусом $r$ распространяется постоянный (т.е. не зависящий от времени) тепловой поток. Распределение температуры вдоль стержня определяется соотношением $T(x) = T + \frac{T_{2} (x - l)^{2}}{l^{2}}$, где $x$ - координата поперечного сечения стержня; одному концу стержня отвечает координата $x = 0$, второму - координата $x = l$ (см. рисунок), параметры $T_{1}$ и $T_{2}$ - положительные Какое количество теплоты уходит в окружающую среду через боковые стенки между точками $x = \frac{l}{2}$ и $x = \frac{3l}{4}$?
Указание. Количество теплоты $q$, переносимое в единицу времени через единицу площади тонкого слоя толщиной $\Delta x$, одна поверхность которого имеет температуру $t_{1}$, вторая $t_{2}$, определяется законом $q = \frac{ \lambda (t_{2} - t_{1})}{ \Delta x}$, где $\lambda$ - коэффициент теплопроводности (закон Фурье).
Решение:
Очевидно, поток тепла по стержню распространяется в положительном направлении оси $x$. Действительно, температура левого конца стержня ($x = 0$) равна $T_{1} + T_{2}$, температура правого ($x = l$) равна $T_{1}$. Поскольку температура левого конца больше температуры правого, поток тепла идет слева направо.
Далее. Из закона Фурье легко найти поток тепла, проходящего через каждое сечение стержня. Количество теплоты, проходящее через сечение стержня в единицу времени, определяется соотношением
$Q(x) = q(x) S = \lambda \frac{T(x + \Delta x) - T(x)}{ \Delta x} S = \lambda ST^{ \prime}(x)$,
где $S$ - площадь поперечного сечения стержня, $T^{ \prime}(x)$ - производная температуры стержня как функции координаты $x$ рассматриваемого сечения.
Найдем теперь количество теплоты, уходящее через боковую поверхность стержня. Для этого рассмотрим узкий слой стержня толщиной $\Delta x$. Очевидно, поток тепла через боковую поверхность слоя равен разности потоков тепла, входящего через левое основание слоя и выходящего через правое. Поэтому количество теплоты, проходящее через боковую поверхность рассматриваемого слоя, равно
$\Delta W = Q (x + \Delta x) - Q (x) = \lambda ST^{ \prime} (x + \Delta x) - \lambda ST^{ \prime}(x) = \lambda S \Delta x \frac{T^{ \prime} ( x + \Delta x) - T^{ \prime}(x) }{ \Delta x} = \lambda S \Delta x T^{ \prime \prime }(x)$,
где $T^{ \prime \prime} (x)$ - вторая производная температуры по координате. Учитывая, что $S = \pi r^{2}$, а площадь боковой поверхности рассматриваемого элемента $\Delta S = 2 \pi r \Delta x$, найдем количество теплоты, уходящее через единицу площади боковой поверхности стержня:
$w = \frac{ \Delta W}{ \Delta S} = \frac{ \lambda rT^{ \prime \prime} (x)}{2}$.
Находя вторую производную температуры по координате, получим, что поток через боковую поверхность не зависит от $x$ и равен
$w = \frac{ \lambda rT_{2}}{l^{2} }$.
Поэтому полное количество теплоты, уходящее через боковую поверхность между точками с координатами $x = \frac{l}{2}$ и $x = \frac{3l}{4}$, равно произведению величины $w$ на площадь боковой поверхности стержня между этими точками:
$W = wS_{1} = w \cdot 2 \pi r \frac{l}{4} = \frac{ \lambda \pi r^{2} T_{2}}{2l}$.
Искомое количество теплоты можно было получить и другим способом - как разность потоков тепла через сечения стержня при $x = \frac{l}{2}$ и $x = \frac{3l}{4}$ : $W = Q \left ( x = \frac{3l}{4} \right ) - Q \left ( x = \frac{l}{2} \right )$. Естественно, при этом способе решения получается тот же ответ, что и выше.
По круглому стержню длиной $l$ и радиусом $r$ распространяется постоянный (т.е. не зависящий от времени) тепловой поток. Распределение температуры вдоль стержня определяется соотношением $T(x) = T + \frac{T_{2} (x - l)^{2}}{l^{2}}$, где $x$ - координата поперечного сечения стержня; одному концу стержня отвечает координата $x = 0$, второму - координата $x = l$ (см. рисунок), параметры $T_{1}$ и $T_{2}$ - положительные Какое количество теплоты уходит в окружающую среду через боковые стенки между точками $x = \frac{l}{2}$ и $x = \frac{3l}{4}$?
Указание. Количество теплоты $q$, переносимое в единицу времени через единицу площади тонкого слоя толщиной $\Delta x$, одна поверхность которого имеет температуру $t_{1}$, вторая $t_{2}$, определяется законом $q = \frac{ \lambda (t_{2} - t_{1})}{ \Delta x}$, где $\lambda$ - коэффициент теплопроводности (закон Фурье).
Решение:
Очевидно, поток тепла по стержню распространяется в положительном направлении оси $x$. Действительно, температура левого конца стержня ($x = 0$) равна $T_{1} + T_{2}$, температура правого ($x = l$) равна $T_{1}$. Поскольку температура левого конца больше температуры правого, поток тепла идет слева направо.
Далее. Из закона Фурье легко найти поток тепла, проходящего через каждое сечение стержня. Количество теплоты, проходящее через сечение стержня в единицу времени, определяется соотношением
$Q(x) = q(x) S = \lambda \frac{T(x + \Delta x) - T(x)}{ \Delta x} S = \lambda ST^{ \prime}(x)$,
где $S$ - площадь поперечного сечения стержня, $T^{ \prime}(x)$ - производная температуры стержня как функции координаты $x$ рассматриваемого сечения.
Найдем теперь количество теплоты, уходящее через боковую поверхность стержня. Для этого рассмотрим узкий слой стержня толщиной $\Delta x$. Очевидно, поток тепла через боковую поверхность слоя равен разности потоков тепла, входящего через левое основание слоя и выходящего через правое. Поэтому количество теплоты, проходящее через боковую поверхность рассматриваемого слоя, равно
$\Delta W = Q (x + \Delta x) - Q (x) = \lambda ST^{ \prime} (x + \Delta x) - \lambda ST^{ \prime}(x) = \lambda S \Delta x \frac{T^{ \prime} ( x + \Delta x) - T^{ \prime}(x) }{ \Delta x} = \lambda S \Delta x T^{ \prime \prime }(x)$,
где $T^{ \prime \prime} (x)$ - вторая производная температуры по координате. Учитывая, что $S = \pi r^{2}$, а площадь боковой поверхности рассматриваемого элемента $\Delta S = 2 \pi r \Delta x$, найдем количество теплоты, уходящее через единицу площади боковой поверхности стержня:
$w = \frac{ \Delta W}{ \Delta S} = \frac{ \lambda rT^{ \prime \prime} (x)}{2}$.
Находя вторую производную температуры по координате, получим, что поток через боковую поверхность не зависит от $x$ и равен
$w = \frac{ \lambda rT_{2}}{l^{2} }$.
Поэтому полное количество теплоты, уходящее через боковую поверхность между точками с координатами $x = \frac{l}{2}$ и $x = \frac{3l}{4}$, равно произведению величины $w$ на площадь боковой поверхности стержня между этими точками:
$W = wS_{1} = w \cdot 2 \pi r \frac{l}{4} = \frac{ \lambda \pi r^{2} T_{2}}{2l}$.
Искомое количество теплоты можно было получить и другим способом - как разность потоков тепла через сечения стержня при $x = \frac{l}{2}$ и $x = \frac{3l}{4}$ : $W = Q \left ( x = \frac{3l}{4} \right ) - Q \left ( x = \frac{l}{2} \right )$. Естественно, при этом способе решения получается тот же ответ, что и выше.
