Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13651
2020-02-29 
По поверхности стоящего неподвижно небольшого школьного глобуса радиусом $R = 9 см$ бежит маленький таракан с постоянной по величине скоростью $v = 3 см/с$. По отношению к разметке глобуса его скорость все время направлена на северо-восток. Каково по величине ускорение таракана в тот момент, когда он наступает на кружочек, соответствующий положению Санкт-Петербурга ($\phi = 60^{ \circ}$ северной широты)?
Решение:
По условию задачи, скорость таракана постоянна по модулю, поэтому проекция ускорения на направление скорости равна нулю. Вектор скорости таракана поворачивается как в плоскости, касательной к поверхности глобуса в той точке, где находится таракан в данный момент, так и в плоскости, которая задается мгновенной скоростью таракана и точкой, соответствующей центру глобуса. Эти две плоскости взаимно перпендикулярны, поэтому, вычислив проекции ускорения на направления, перпендикулярные скорости и находящиеся в этих плоскостях, можно найти и величину ускорения.
На рисунке показаны касательные к двум соседним меридианам и расположение таракана в момент, когда он находится на интересующей нас 60-й параллели. Ясно, что проекция ускорения на направление к центру глобуса равна
$a_{1} = \frac{v^{2}}{R}$.
Найдем вторую проекцию ускорения - на плоскость, касательную к поверхности глобуса. Пусть прошел небольшой промежуток времени $\tau$, за этот промежуток таракан сместился на расстояние $\frac{v \tau}{ \sqrt{2}}$ в направлении на восток (и на такое же расстояние на север) и оказался на другом меридиане. Если провести касательные к этим меридианам (в точках, где находился таракан) вдоль поверхности глобуса, то они пересекут линию, проходящую через полюса глобуса (и через центр Земли), на близких по величине расстояниях
$L = R ctg 60^{ \circ} = \frac{R}{ \sqrt{3} }$.
Соответственно, угол между этими касательными будет равен
$\alpha = \frac{ \frac{v \tau }{ \sqrt{2} } }{L} = \frac{v \tau}{R} \sqrt{ \frac{3}{2}}$.
Именно на такой угол повернулась скорость таракана в касательной плоскости. Отсюда находим вторую проекцию ускорения:
$a_{2} = \frac{ \alpha v}{ \tau} = \frac{v^{2}}{R} \sqrt{ \frac{3}{2}}$.
В итоге величина ускорения таракана будет равна
$a = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} = \frac{v^{2}}{R} \sqrt{1 + \frac{3}{2} } \approx 1,58 см/с^{2}$.
По поверхности стоящего неподвижно небольшого школьного глобуса радиусом $R = 9 см$ бежит маленький таракан с постоянной по величине скоростью $v = 3 см/с$. По отношению к разметке глобуса его скорость все время направлена на северо-восток. Каково по величине ускорение таракана в тот момент, когда он наступает на кружочек, соответствующий положению Санкт-Петербурга ($\phi = 60^{ \circ}$ северной широты)?
Решение:
По условию задачи, скорость таракана постоянна по модулю, поэтому проекция ускорения на направление скорости равна нулю. Вектор скорости таракана поворачивается как в плоскости, касательной к поверхности глобуса в той точке, где находится таракан в данный момент, так и в плоскости, которая задается мгновенной скоростью таракана и точкой, соответствующей центру глобуса. Эти две плоскости взаимно перпендикулярны, поэтому, вычислив проекции ускорения на направления, перпендикулярные скорости и находящиеся в этих плоскостях, можно найти и величину ускорения.
На рисунке показаны касательные к двум соседним меридианам и расположение таракана в момент, когда он находится на интересующей нас 60-й параллели. Ясно, что проекция ускорения на направление к центру глобуса равна
$a_{1} = \frac{v^{2}}{R}$.
Найдем вторую проекцию ускорения - на плоскость, касательную к поверхности глобуса. Пусть прошел небольшой промежуток времени $\tau$, за этот промежуток таракан сместился на расстояние $\frac{v \tau}{ \sqrt{2}}$ в направлении на восток (и на такое же расстояние на север) и оказался на другом меридиане. Если провести касательные к этим меридианам (в точках, где находился таракан) вдоль поверхности глобуса, то они пересекут линию, проходящую через полюса глобуса (и через центр Земли), на близких по величине расстояниях
$L = R ctg 60^{ \circ} = \frac{R}{ \sqrt{3} }$.
Соответственно, угол между этими касательными будет равен
$\alpha = \frac{ \frac{v \tau }{ \sqrt{2} } }{L} = \frac{v \tau}{R} \sqrt{ \frac{3}{2}}$.
Именно на такой угол повернулась скорость таракана в касательной плоскости. Отсюда находим вторую проекцию ускорения:
$a_{2} = \frac{ \alpha v}{ \tau} = \frac{v^{2}}{R} \sqrt{ \frac{3}{2}}$.
В итоге величина ускорения таракана будет равна
$a = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} = \frac{v^{2}}{R} \sqrt{1 + \frac{3}{2} } \approx 1,58 см/с^{2}$.
