Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13650
2020-02-29 
На рисунке изображена висящая неподвижно однородная цепочка длиной $L = 3 м$. Один ее конец закреплен на стене, а на другой конец действует сила $F = 50 Н$. Нижняя точка цепочки находится ниже места крепления к стене на $h = 1 м$ и ниже второго конца цепочки на $\frac{h}{2} = 0,5 м$. Какова масса цепочки? С какой силой натянута цепочка в самой нижней точке?
Решение:
Обозначим вертикальные составляющие сил натяжения цепочки вблизи ее концов буквами $x$ и $y$, а горизонтальную составляющую силы натяжения - буквой $z$. Тогда можно через них выразить массу цепочки и силы натяжения на ее концах. С массой это сделать просто:
$M = \frac{x + y}{g}$.
Кусок цепочки между нижней точкой и любым из двух концов находится в равновесии. Добавим, например, к левому куску кусок цепочки с таким же отношением $\frac{M}{L}$ и расположим его так, как показано на рисунке. Имеется горизонтальный участок, лежащий на гладкой поверхности, и вертикальный участок длиной $h$ между маленькими блоками без трения в осях. Из условия равновесия такой замкнутой цепочки следует, что разница сил натяжения на конце и в нижней точке равна $\frac{M}{L} \frac{gh}{2}$:
$F_{1} = F = \sqrt{x^{2} + z^{2}} = z + \frac{M}{L} g \frac{h}{2}$.
Аналогично, для правого куска цепочки получаем
$F_{2} = \sqrt{y^{2} + z^{2}} = z + \frac{M}{L} gh$.
Имеем три уравнения с тремя неизвестными:
$F = \sqrt{x^{2} + z^{2}}$,
$\sqrt{x^{2} + z^{2}} = z + \frac{(x + y)h}{2L}$,
$\sqrt{y^{2} + z^{2} } = z + \frac{(x + y)h}{L}$.
Будем преобразовывать эту систему уравнений так, чтобы найти неизвестные:
$\frac{(x + y)h}{2L} = F - z$,
$2(F - z) + z = 2F - z = \sqrt{y^{2} + z^{2}}$,
$y^{2} = 4F^{2} - 4Fz$,
$x^{2} = F^{2} - z^{2}$,
$x^{2} + z^{2} = F^{2} = 5F^{2} - 4Fz - z^{2}$.
Отсюда находится искомая величина силы натяжения в самой нижней точке:
$z = 2( \sqrt{2} - 1)F \approx 0,828F = 41,4 Н$.
Теперь можно найти $x$ и $y$:
$x = \sqrt{1 - 4 ( \sqrt{2} - 1)^{2}} F \approx 0,56F = 28 Н$,
$y = 2 \sqrt{F^{2} - Fz} = 2 (1 - 2 ( \sqrt{2} - 1))F = \approx 0,343F \approx 17,16 Н$.
Отсюда же находится и масса цепочки:
$M = \frac{x + y}{g} = (0,56 + 0,343 ) \frac{F}{g} \approx 4,5 кг$.
На рисунке изображена висящая неподвижно однородная цепочка длиной $L = 3 м$. Один ее конец закреплен на стене, а на другой конец действует сила $F = 50 Н$. Нижняя точка цепочки находится ниже места крепления к стене на $h = 1 м$ и ниже второго конца цепочки на $\frac{h}{2} = 0,5 м$. Какова масса цепочки? С какой силой натянута цепочка в самой нижней точке?
Решение:
Обозначим вертикальные составляющие сил натяжения цепочки вблизи ее концов буквами $x$ и $y$, а горизонтальную составляющую силы натяжения - буквой $z$. Тогда можно через них выразить массу цепочки и силы натяжения на ее концах. С массой это сделать просто:
$M = \frac{x + y}{g}$.
Кусок цепочки между нижней точкой и любым из двух концов находится в равновесии. Добавим, например, к левому куску кусок цепочки с таким же отношением $\frac{M}{L}$ и расположим его так, как показано на рисунке. Имеется горизонтальный участок, лежащий на гладкой поверхности, и вертикальный участок длиной $h$ между маленькими блоками без трения в осях. Из условия равновесия такой замкнутой цепочки следует, что разница сил натяжения на конце и в нижней точке равна $\frac{M}{L} \frac{gh}{2}$:
$F_{1} = F = \sqrt{x^{2} + z^{2}} = z + \frac{M}{L} g \frac{h}{2}$.
Аналогично, для правого куска цепочки получаем
$F_{2} = \sqrt{y^{2} + z^{2}} = z + \frac{M}{L} gh$.
Имеем три уравнения с тремя неизвестными:
$F = \sqrt{x^{2} + z^{2}}$,
$\sqrt{x^{2} + z^{2}} = z + \frac{(x + y)h}{2L}$,
$\sqrt{y^{2} + z^{2} } = z + \frac{(x + y)h}{L}$.
Будем преобразовывать эту систему уравнений так, чтобы найти неизвестные:
$\frac{(x + y)h}{2L} = F - z$,
$2(F - z) + z = 2F - z = \sqrt{y^{2} + z^{2}}$,
$y^{2} = 4F^{2} - 4Fz$,
$x^{2} = F^{2} - z^{2}$,
$x^{2} + z^{2} = F^{2} = 5F^{2} - 4Fz - z^{2}$.
Отсюда находится искомая величина силы натяжения в самой нижней точке:
$z = 2( \sqrt{2} - 1)F \approx 0,828F = 41,4 Н$.
Теперь можно найти $x$ и $y$:
$x = \sqrt{1 - 4 ( \sqrt{2} - 1)^{2}} F \approx 0,56F = 28 Н$,
$y = 2 \sqrt{F^{2} - Fz} = 2 (1 - 2 ( \sqrt{2} - 1))F = \approx 0,343F \approx 17,16 Н$.
Отсюда же находится и масса цепочки:
$M = \frac{x + y}{g} = (0,56 + 0,343 ) \frac{F}{g} \approx 4,5 кг$.
