ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-11-18   
Начальная скорость камня $v_{0}$, а спустя время $t_{1}$, скорость камня $v_{1}$. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?


Решение:



В условии упоминается о двух характерных моментах времени: $t_{1}$ и $t_{2}$ — достижение камнем верхней точки траектории. Воспользуемся уравнениями для проекций скоростей в моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$:

$v_{1x} = v_{0} \cos \alpha$, (1)
$v_{1y} = v_{0} \sin \alpha - gt_{1}$ (2)
$v_{2x} = v_{0} \cos \alpha$, (3)
$v_{2y} = v_{0} \sin \alpha - gt_{2} = 0$. (4)

Свяжем также модуль вектора $v_{1}$ с его проекциями:

$v_{1} = v_{1x}^{2} + v_{1y}^{2}$. (5)

Максимальная высота, на которую поднимается камень, равна координате камня по оси у в момент времени $t_{2}$:

$y_{2} = v_{0} \sin \alpha t_{2} - \frac{gt_{2}^{2}}{2}$. (6)

Система уравнений (1, 2, 4, 5, 6) позволяет ответить на вопрос задачи. Для этого необходимо подставить (1) и (2) в (5) и вычислить $v_{0} \sin \alpha$. Затем из (4) выразить $t_{2}$ и подставить все это в (6):

$y_{2} = \frac{1}{2g} \left [ \frac{1}{gt_{1}} \cdot (v_{0}^{2} - v_{1}^{2} + (gt_{1})^{2}) \right ]^{2}$.