Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13645
2020-02-29 
Длина круговой траектории протонов в Большом адронном коллайдере (БАК) равна $L = 26659 м$. Индукция магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости траектории, равна $B = 7,5 Тл$. Вычислите разницу между скоростью света и скоростью протонов в коллайдере.
Решение:
Протоны в коллайдере движутся со скоростями, сравнимыми со скоростью света $c$. Согласно специальной теории относительности Эйнштейна, в таком случае связь между импульсом и скоростью частицы дается соотношением
$p = \frac{m_{0}v}{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$,
где $m_{0}$ называют массой покоя, а массу $m$ движущейся частицы определяют как зависящий от скорости коэффициент пропорциональности между $p$ и $v$:
$m = \frac{m_{0} }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$.
Обозначим величину, которую нужно найти, через $\Delta v$, тогда $v + \Delta v = c$. Понятно, что $\frac{ \Delta v}{c} \ll 1$. На движущийся по окружности радиусом $R = \frac{L}{2 \pi}$ протон со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, равная $F = qvB$. Запишем закон движения протона:
$\frac{m_{0}}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } \frac{v^{2} }{R} = qvB$, или $\frac{m_{0}c (c - \Delta v) }{ \sqrt{2c \Delta v - \Delta v^{2} } } = BRq$, или
$\left ( \frac{m_{0}c }{BRq} \right )^{2} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta v}{c} + \frac{ \Delta v^{2} }{c^{2} } \right ) = 2 \frac{ \Delta v}{c} - \frac{ \Delta v^{2} }{c^{2} }$.
Можно, конечно, и честно решить это квадратное относительно $\Delta v$ уравнение, но поскольку $\frac{ \Delta v}{c} \ll 1$, то его можно переписать в виде
$\left ( \frac{2 \pi m_{0}c }{LBq} \right )^{2} = 2 \frac{ \Delta v}{c}$.
Отсюда находим
$\Delta v = \frac{c}{2} \left ( \frac{2 \pi m_{0}c }{LBq} \right )^{2} \approx 1,4 м/с$.
Длина круговой траектории протонов в Большом адронном коллайдере (БАК) равна $L = 26659 м$. Индукция магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости траектории, равна $B = 7,5 Тл$. Вычислите разницу между скоростью света и скоростью протонов в коллайдере.
Решение:
Протоны в коллайдере движутся со скоростями, сравнимыми со скоростью света $c$. Согласно специальной теории относительности Эйнштейна, в таком случае связь между импульсом и скоростью частицы дается соотношением
$p = \frac{m_{0}v}{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$,
где $m_{0}$ называют массой покоя, а массу $m$ движущейся частицы определяют как зависящий от скорости коэффициент пропорциональности между $p$ и $v$:
$m = \frac{m_{0} }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$.
Обозначим величину, которую нужно найти, через $\Delta v$, тогда $v + \Delta v = c$. Понятно, что $\frac{ \Delta v}{c} \ll 1$. На движущийся по окружности радиусом $R = \frac{L}{2 \pi}$ протон со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, равная $F = qvB$. Запишем закон движения протона:
$\frac{m_{0}}{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } \frac{v^{2} }{R} = qvB$, или $\frac{m_{0}c (c - \Delta v) }{ \sqrt{2c \Delta v - \Delta v^{2} } } = BRq$, или
$\left ( \frac{m_{0}c }{BRq} \right )^{2} \left ( 1 - 2 \frac{ \Delta v}{c} + \frac{ \Delta v^{2} }{c^{2} } \right ) = 2 \frac{ \Delta v}{c} - \frac{ \Delta v^{2} }{c^{2} }$.
Можно, конечно, и честно решить это квадратное относительно $\Delta v$ уравнение, но поскольку $\frac{ \Delta v}{c} \ll 1$, то его можно переписать в виде
$\left ( \frac{2 \pi m_{0}c }{LBq} \right )^{2} = 2 \frac{ \Delta v}{c}$.
Отсюда находим
$\Delta v = \frac{c}{2} \left ( \frac{2 \pi m_{0}c }{LBq} \right )^{2} \approx 1,4 м/с$.
