Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13640
2020-02-29 
В системе, изображенной на рисунке, трения нет, пружина упругая и невесомая, небольшие шары одинаковые и упругие. Правая часть стержня плавно переходит в дугу окружности радиусом $R$, расположенную в вертикальной плоскости, а в месте перехода находится правый шар. Расстояние между шарами равно $R$. Если, не снимая шаров и не удерживая их внешними силами, систему расположить так, что прямолинейная часть стержня примет вертикальное положение, то в состоянии равновесия пружина сожмется на величину $R$. Из положения, показанного на рисунке, правый шар отклоняют так, что его угловое смещение вдоль дуги невелико и равно $\beta$ ($\beta \ll 1$).
1) Найдите время, в течение которого правый шар первый раз вернется в указанное на рисунке начальное положение.
2) Найдите модуль скорости правого шара на горизонтальном участке.
3) Найдите максимальную величину сжатия пружины после удара шаров.
4) Найдите время движения левого шара между первыми двумя ударами шаров.
5) Найдите период колебаний этой системы.
Решение:
1) Если рассмотреть силы, действующие на шар на дуге окружности, то можно обнаружить их аналогию с силами, действующими на математический маятник с точкой крепления в центре окружности. Значит, движение этого шара описывается законами математического маятника. Тогда время спуска составляет четверть периода колебаний маятника:
$t_{1} = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } = \frac{ \pi }{2} \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
2) Согласно закону сохранения энергии,
$mgh = \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда
$v = \sqrt{2gh}$.
Для определения высоты подъема шара запишем определение косинуса острого угла:
$\cos \beta = \frac{R - h}{R}$, и $h = R (1 - \cos \beta )$.
Тогда
$v = \sqrt{2gR (1 - \cos \beta )} \approx \beta \sqrt{gR}$.
3) Рассмотрим равновесие системы в вертикальном положении. Условие равновесия запишется так:
$2mg - F_{упр} = 0$, или $2mg = kR$,
откуда
$\frac{m}{k} = \frac{R}{2g}$.
В соответствии с законом сохранения энергии,
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{kx_{m}^{2} }{2}$, или $\frac{m}{k} = \frac{x_{m}^{2} }{v^{2} }$.
Теперь можно найти максимальную величину сжатия пружины, т.е. амплитуду колебаний:
$x_{m} = v \sqrt{ \frac{R}{2g} }$.
4) Время движения левого шара равно половине периода колебаний пружинного маятника:
$t_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = \pi \sqrt{ \frac{R}{2g} }$.
5) Период колебаний системы складывается из трех промежутков времени:
$T = 2t_{1} + \frac{2R}{v} + t_{2 } = \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} }{2} \right ) + \frac{2R}{v}$.
В системе, изображенной на рисунке, трения нет, пружина упругая и невесомая, небольшие шары одинаковые и упругие. Правая часть стержня плавно переходит в дугу окружности радиусом $R$, расположенную в вертикальной плоскости, а в месте перехода находится правый шар. Расстояние между шарами равно $R$. Если, не снимая шаров и не удерживая их внешними силами, систему расположить так, что прямолинейная часть стержня примет вертикальное положение, то в состоянии равновесия пружина сожмется на величину $R$. Из положения, показанного на рисунке, правый шар отклоняют так, что его угловое смещение вдоль дуги невелико и равно $\beta$ ($\beta \ll 1$).
1) Найдите время, в течение которого правый шар первый раз вернется в указанное на рисунке начальное положение.
2) Найдите модуль скорости правого шара на горизонтальном участке.
3) Найдите максимальную величину сжатия пружины после удара шаров.
4) Найдите время движения левого шара между первыми двумя ударами шаров.
5) Найдите период колебаний этой системы.
Решение:
1) Если рассмотреть силы, действующие на шар на дуге окружности, то можно обнаружить их аналогию с силами, действующими на математический маятник с точкой крепления в центре окружности. Значит, движение этого шара описывается законами математического маятника. Тогда время спуска составляет четверть периода колебаний маятника:
$t_{1} = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } = \frac{ \pi }{2} \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
2) Согласно закону сохранения энергии,
$mgh = \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда
$v = \sqrt{2gh}$.
Для определения высоты подъема шара запишем определение косинуса острого угла:
$\cos \beta = \frac{R - h}{R}$, и $h = R (1 - \cos \beta )$.
Тогда
$v = \sqrt{2gR (1 - \cos \beta )} \approx \beta \sqrt{gR}$.
3) Рассмотрим равновесие системы в вертикальном положении. Условие равновесия запишется так:
$2mg - F_{упр} = 0$, или $2mg = kR$,
откуда
$\frac{m}{k} = \frac{R}{2g}$.
В соответствии с законом сохранения энергии,
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{kx_{m}^{2} }{2}$, или $\frac{m}{k} = \frac{x_{m}^{2} }{v^{2} }$.
Теперь можно найти максимальную величину сжатия пружины, т.е. амплитуду колебаний:
$x_{m} = v \sqrt{ \frac{R}{2g} }$.
4) Время движения левого шара равно половине периода колебаний пружинного маятника:
$t_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = \pi \sqrt{ \frac{R}{2g} }$.
5) Период колебаний системы складывается из трех промежутков времени:
$T = 2t_{1} + \frac{2R}{v} + t_{2 } = \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} }{2} \right ) + \frac{2R}{v}$.
