Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13635
2020-02-29 
Тяжелый однородный бильярдный шар массой $m$ "застрял" в горизонтальной решетке (рис.), протянутой (для безопасности ламп) под потолком над игровым столом. При каком минимальном значении коэффициента трения $\mu$ такое возможно? Радиус шара $R$, "шаг" решетки $2a$, диаметр прутка решетки $l$. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Рассмотрим плоскость, проходящую через точки касания шара с решеткой и центр шара (рис.). Пусть $\vec{N}_{k}, \vec{T}_{k}$ ($k = 1, 2$) - силы нормальной реакции и трения, действующие на шар в левой и правой точках касания с прутками решетки. Прежде всего заметим, что треугольник $OC_{1}C_{2}$ - равнобедренный с углом $\beta = arccos \frac{a}{R + \frac{l}{2} }$ при вершинах $C_{i}$. Выпишем теперь условия равновесия шара. В проекции на горизонтальную и вертикальную оси имеем, соответственно,
$T_{1} \sin \beta + N_{1} \cos \beta - T_{2} \sin \beta - N_{2} \cos \beta = 0$,
$T_{1} \cos \beta - N_{1} \sin \beta + T_{2} \cos \beta - N_{2} \sin \beta - mg = 0$.
Из условия равенства нулю момента сил относительно оси симметрии шара, перпендикулярной плоскости $OC_{1}C_{2}$, следует $T_{1}R - T_{2}R = 0$, откуда
$T_{1} = T_{2} = T$.
Тогда
$N_{1} = N_{2} = N$,
что естественно из соображений симметрии,
$T \cos \beta - N \sin \beta = \frac{mg}{2}$,
$T = \frac{N \sin \beta + \frac{mg}{2} }{ \cos \beta}$.
Заметим, что выполнение условий равновесия накладывает на действующие в системе силы такие ограничения:
$|T_{1}| \leq \mu | N_{1}|, |T_{2}| \leq \mu | N_{2}|$.
Наконец, так как решетка не притягивает шар, то
$N_{1} \geq 0, N_{2} \geq 0$.
Поэтому остается решить неравенства
$\left | \frac{N \sin \beta + \frac{mg}{2}}{ \cos \beta} \right | \leq \mu |N|, N >0$.
Эти неравенства удобно решать графически (рис.) Пусть коэффициент сухого трения $\mu = tg \alpha$. Тогда ветви графика правой части неравенства составляют с горизонталью угол $\alpha$, а ветви графика левой части - угол $\beta$. Эти ветви должны пересекаться при $N > 0$, что возможно лишь в случае, когда $\beta < \alpha$. Иными словами, равновесие возможно, только если
$tg \beta < tg \alpha$, или $\frac{ \sqrt{ \left ( R + \frac{l}{2} \right )^{2} - a^{2} } }{a} < \mu$.
При выполнении данного условия равновесие существует, если
$N > N_{*} = \frac{mg}{2 ( \mu \cos \beta - \sin \beta ) } = \frac{mg \cos \alpha }{ 2 \sin ( \alpha - \beta ) }$.
При этом
$T > T_{*} = \frac{mg}{2} \frac{sin \alpha}{ \sin ( \alpha - \beta )}$.
Нетрудно сообразить, что в предельном случае, когда центр шара и оси соседних прутков решетки располагаются в одной горизонтальной плоскости, каждая из двух равных сил трения, реализующих равновесие, должна быть не меньше $\frac{mg}{2}$, а шар должен быть стиснут силами, равными по величине и не меньшими, чем $\frac{mg}{2 \mu}$.
Тяжелый однородный бильярдный шар массой $m$ "застрял" в горизонтальной решетке (рис.), протянутой (для безопасности ламп) под потолком над игровым столом. При каком минимальном значении коэффициента трения $\mu$ такое возможно? Радиус шара $R$, "шаг" решетки $2a$, диаметр прутка решетки $l$. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Рассмотрим плоскость, проходящую через точки касания шара с решеткой и центр шара (рис.). Пусть $\vec{N}_{k}, \vec{T}_{k}$ ($k = 1, 2$) - силы нормальной реакции и трения, действующие на шар в левой и правой точках касания с прутками решетки. Прежде всего заметим, что треугольник $OC_{1}C_{2}$ - равнобедренный с углом $\beta = arccos \frac{a}{R + \frac{l}{2} }$ при вершинах $C_{i}$. Выпишем теперь условия равновесия шара. В проекции на горизонтальную и вертикальную оси имеем, соответственно,
$T_{1} \sin \beta + N_{1} \cos \beta - T_{2} \sin \beta - N_{2} \cos \beta = 0$,
$T_{1} \cos \beta - N_{1} \sin \beta + T_{2} \cos \beta - N_{2} \sin \beta - mg = 0$.
Из условия равенства нулю момента сил относительно оси симметрии шара, перпендикулярной плоскости $OC_{1}C_{2}$, следует $T_{1}R - T_{2}R = 0$, откуда
$T_{1} = T_{2} = T$.
Тогда
$N_{1} = N_{2} = N$,
что естественно из соображений симметрии,
$T \cos \beta - N \sin \beta = \frac{mg}{2}$,
$T = \frac{N \sin \beta + \frac{mg}{2} }{ \cos \beta}$.
Заметим, что выполнение условий равновесия накладывает на действующие в системе силы такие ограничения:
$|T_{1}| \leq \mu | N_{1}|, |T_{2}| \leq \mu | N_{2}|$.
Наконец, так как решетка не притягивает шар, то
$N_{1} \geq 0, N_{2} \geq 0$.
Поэтому остается решить неравенства
$\left | \frac{N \sin \beta + \frac{mg}{2}}{ \cos \beta} \right | \leq \mu |N|, N >0$.
Эти неравенства удобно решать графически (рис.) Пусть коэффициент сухого трения $\mu = tg \alpha$. Тогда ветви графика правой части неравенства составляют с горизонталью угол $\alpha$, а ветви графика левой части - угол $\beta$. Эти ветви должны пересекаться при $N > 0$, что возможно лишь в случае, когда $\beta < \alpha$. Иными словами, равновесие возможно, только если
$tg \beta < tg \alpha$, или $\frac{ \sqrt{ \left ( R + \frac{l}{2} \right )^{2} - a^{2} } }{a} < \mu$.
При выполнении данного условия равновесие существует, если
$N > N_{*} = \frac{mg}{2 ( \mu \cos \beta - \sin \beta ) } = \frac{mg \cos \alpha }{ 2 \sin ( \alpha - \beta ) }$.
При этом
$T > T_{*} = \frac{mg}{2} \frac{sin \alpha}{ \sin ( \alpha - \beta )}$.
Нетрудно сообразить, что в предельном случае, когда центр шара и оси соседних прутков решетки располагаются в одной горизонтальной плоскости, каждая из двух равных сил трения, реализующих равновесие, должна быть не меньше $\frac{mg}{2}$, а шар должен быть стиснут силами, равными по величине и не меньшими, чем $\frac{mg}{2 \mu}$.
