Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13633
2020-02-29 
Шар радиусом $R$ заряжен равномерно по объему. Потенциал центра шара (относительно бесконечности) равен $\phi(0) = 120 В$. Найдите потенциал на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра шара.
Решение:
Как известно, напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы внутри нее равна нулю, а снаружи такая же, как если бы весь заряд сферы находился в ее центре. Разбив мысленно шар на тонкие сферические слои, из принципа суперпозиции получим, что зависимость напряженности поля шара с зарядом $Q$ от расстояния $r$ до его центра имеет вид, показанный на рисунке, и напряженность равна
$E(r) = k \frac{Q}{r^{2} }$ при $r \geq R$
и
$E = k \frac{Q}{R^{3} } r$ при $r < R$.
Потенциал в центре шара равен площади под всем графиком зависимости $E$ от $r$. Площадь от 0 до $R$ находится как площадь треугольника и равна
$\frac{1}{2} \cdot R \cdot k \frac{Q}{R^{2} } = k \frac{Q}{2R}$.
Площадь от $R$ до бесконечности равна $k \frac{Q}{R}$, так как в этой области поле шара совпадает с полем точечного заряда, для потенциала которого есть готовая формула. Итого, потенциал в центре равен
$\phi(0) = \frac{3kQ}{2R} = 120 В$.
Потенциал на расстоянии $R/2$ от центра шара меньше, чем в центре, на площадь закрашенного на рисунке треугольника, которая в 4 раза меньше уже найденной площади от 0 до $R$, поэтому
$\phi \left ( \frac{R}{2} \right ) = \phi(0) - \frac{1}{4} \cdot \frac{kQ}{2R} = \frac{11}{8} \frac{kQ}{R} = \frac{11}{12} \phi(0) = 110 B$.
Шар радиусом $R$ заряжен равномерно по объему. Потенциал центра шара (относительно бесконечности) равен $\phi(0) = 120 В$. Найдите потенциал на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра шара.
Решение:
Как известно, напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы внутри нее равна нулю, а снаружи такая же, как если бы весь заряд сферы находился в ее центре. Разбив мысленно шар на тонкие сферические слои, из принципа суперпозиции получим, что зависимость напряженности поля шара с зарядом $Q$ от расстояния $r$ до его центра имеет вид, показанный на рисунке, и напряженность равна
$E(r) = k \frac{Q}{r^{2} }$ при $r \geq R$
и
$E = k \frac{Q}{R^{3} } r$ при $r < R$.
Потенциал в центре шара равен площади под всем графиком зависимости $E$ от $r$. Площадь от 0 до $R$ находится как площадь треугольника и равна
$\frac{1}{2} \cdot R \cdot k \frac{Q}{R^{2} } = k \frac{Q}{2R}$.
Площадь от $R$ до бесконечности равна $k \frac{Q}{R}$, так как в этой области поле шара совпадает с полем точечного заряда, для потенциала которого есть готовая формула. Итого, потенциал в центре равен
$\phi(0) = \frac{3kQ}{2R} = 120 В$.
Потенциал на расстоянии $R/2$ от центра шара меньше, чем в центре, на площадь закрашенного на рисунке треугольника, которая в 4 раза меньше уже найденной площади от 0 до $R$, поэтому
$\phi \left ( \frac{R}{2} \right ) = \phi(0) - \frac{1}{4} \cdot \frac{kQ}{2R} = \frac{11}{8} \frac{kQ}{R} = \frac{11}{12} \phi(0) = 110 B$.
