Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13630
2020-02-29 
Имеются четыре одинаковых цилиндрических сосуда, в которые налито некоторое количество воды. Поверх воды в первый, второй и третий сосуды (см. рисунок) аккуратно наливают слой масла толщиной $h, 2h$ и $3h$ соответственно. На сколько изменится уровень жидкости в каждом сосуде по сравнению с первоначальным положением после установления равновесия? Известно, что при наливании масла вода ни из одного сосуда полностью маслом не вытесняется. Плотность масла $\rho_{0}$, плотность воды $\rho_{1}$ ( $\rho_{1} > \rho_{0}$).
Решение:
С точки зрения давления в жидкости, наливание в сосуд слоя масла толщиной $h$ эквивалентно наливанию слоя воды толщиной $ \frac{ \rho_{0}h }{ \rho_{1} }$. Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной $6h$ (в первый, второй и третий сосуды) эквивалентно тому, что мы нальем слой воды толщиной
$h_{1} = \frac{6 \rho_{0}h }{ \rho_{1} }$.
Но если бы мы налили такое количество воды, она распределилась бы равномерно по четырем сосудам. Учитывая, что в четвертом сосуде будет только вода (по условию масло полностью воду ни из одного сосуда не вытесняет и, следовательно, не может попасть в четвертый сосуд), уровень воды в нем поднимется на величину
$\Delta h_{4} = \frac{6 \rho_{0}h }{4 \rho_{1} } = \frac{3 \rho_{0}h }{2 \rho_{1} }$.
При этом давление в жидкости (около дна сосуда) возрастет на величину
$\Delta p = \rho_{1} g \Delta h_{4} = \frac{3}{2} \rho_{0}gh$.
Изменение уровня жидкости в первом, втором и третьем сосудах найдем из условия увеличения давления в этих сосудах на эту величину.
В первом сосуде находится слой масла толщиной $h$, который обеспечивает дополнительное давление $\rho_{0}gh$. Поэтому для увеличения давления на $\Delta p = \frac{3}{2} \rho_{0} gh$ в левый сосуд должна войти дополнительная порция воды, создающая давление около дна сосуда $\frac{1}{2} \rho_{0} gh$. Иными словами, должен войти слой воды толщиной $\frac{1}{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1} } h$. Это значит, что уровень жидкости в первом сосуде увеличится на величину
$\Delta h_{1} = h + \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} }h = h \left ( 1 + \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} } \right )$.
Во втором сосуде появился дополнительный слой масла толщиной $2h$, который обеспечивает дополнительное давление $2 \rho_{0}gh$. Поэтому, чтобы давление около дна второго сосуда возросло на величину $\Delta p$, из второго сосуда должна уйти вода толщиной $\frac{1}{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}}h$. Следовательно уровень жидкости во втором сосуде поднимется на величину
$\Delta h_{2} = 2h - \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} } h = 2h \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{4 \rho_{1} } \right )$.
В третьем сосуде появился дополнительный слой масла толщиной $3h$, который обеспечивает дополнительное давление $3 \rho_{0} gh$. Тогда, чтобы давление около дна третьего сосуда возросло на величину $\Delta p$, из третьего сосуда должна уйти вода толщиной $\frac{3}{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1} } h$. Поэтому уровень жидкости в третьем сосуде поднимется на величину
$\Delta h_{3} = 3h - \frac{3 \rho_{0} }{2 \rho_{1} } h = 3h \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} } \right )$.
Имеются четыре одинаковых цилиндрических сосуда, в которые налито некоторое количество воды. Поверх воды в первый, второй и третий сосуды (см. рисунок) аккуратно наливают слой масла толщиной $h, 2h$ и $3h$ соответственно. На сколько изменится уровень жидкости в каждом сосуде по сравнению с первоначальным положением после установления равновесия? Известно, что при наливании масла вода ни из одного сосуда полностью маслом не вытесняется. Плотность масла $\rho_{0}$, плотность воды $\rho_{1}$ ( $\rho_{1} > \rho_{0}$).
Решение:
С точки зрения давления в жидкости, наливание в сосуд слоя масла толщиной $h$ эквивалентно наливанию слоя воды толщиной $ \frac{ \rho_{0}h }{ \rho_{1} }$. Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной $6h$ (в первый, второй и третий сосуды) эквивалентно тому, что мы нальем слой воды толщиной
$h_{1} = \frac{6 \rho_{0}h }{ \rho_{1} }$.
Но если бы мы налили такое количество воды, она распределилась бы равномерно по четырем сосудам. Учитывая, что в четвертом сосуде будет только вода (по условию масло полностью воду ни из одного сосуда не вытесняет и, следовательно, не может попасть в четвертый сосуд), уровень воды в нем поднимется на величину
$\Delta h_{4} = \frac{6 \rho_{0}h }{4 \rho_{1} } = \frac{3 \rho_{0}h }{2 \rho_{1} }$.
При этом давление в жидкости (около дна сосуда) возрастет на величину
$\Delta p = \rho_{1} g \Delta h_{4} = \frac{3}{2} \rho_{0}gh$.
Изменение уровня жидкости в первом, втором и третьем сосудах найдем из условия увеличения давления в этих сосудах на эту величину.
В первом сосуде находится слой масла толщиной $h$, который обеспечивает дополнительное давление $\rho_{0}gh$. Поэтому для увеличения давления на $\Delta p = \frac{3}{2} \rho_{0} gh$ в левый сосуд должна войти дополнительная порция воды, создающая давление около дна сосуда $\frac{1}{2} \rho_{0} gh$. Иными словами, должен войти слой воды толщиной $\frac{1}{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1} } h$. Это значит, что уровень жидкости в первом сосуде увеличится на величину
$\Delta h_{1} = h + \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} }h = h \left ( 1 + \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} } \right )$.
Во втором сосуде появился дополнительный слой масла толщиной $2h$, который обеспечивает дополнительное давление $2 \rho_{0}gh$. Поэтому, чтобы давление около дна второго сосуда возросло на величину $\Delta p$, из второго сосуда должна уйти вода толщиной $\frac{1}{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}}h$. Следовательно уровень жидкости во втором сосуде поднимется на величину
$\Delta h_{2} = 2h - \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} } h = 2h \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{4 \rho_{1} } \right )$.
В третьем сосуде появился дополнительный слой масла толщиной $3h$, который обеспечивает дополнительное давление $3 \rho_{0} gh$. Тогда, чтобы давление около дна третьего сосуда возросло на величину $\Delta p$, из третьего сосуда должна уйти вода толщиной $\frac{3}{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1} } h$. Поэтому уровень жидкости в третьем сосуде поднимется на величину
$\Delta h_{3} = 3h - \frac{3 \rho_{0} }{2 \rho_{1} } h = 3h \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{2 \rho_{1} } \right )$.
