Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1363
2016-11-18 
С какой наименьшей скоростью нужно бросить тело с вершины башни высотой $H$, чтобы оно упало на расстоянии $L$ от вершины?
Решение:
Для момента времени $t_{1}$ (касания тела с Землей) запишем основные уравнения для координаты:
$x_{1} = v_{0} \cos \alpha t_{1} = L$, (1)
$y_{1} = - v_{0} \sin \alpha t_{1} + \frac{gt_{1}^{2}}{2} = H$. (2)
Имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными $\alpha, t_{1} v_{0}$. Однако, не использовано условие минимальности $v_{0}$, которое формально можно пред ставить в виде:
$v_{0} = v_{min}$. (3)
Подставляя $t_{1}$, из (1) в (2), получим:
$v_{0}^{2} = \frac{gL^{2}}{2} \cdot \frac{1}{H \cos^{2} \alpha + L \sin \alpha \cdot \cos \alpha}$.
Таким образом, задача сводится к отысканию минимума правой части (4), где варьируемым параметром является угол $\alpha$. Дробь принимает минимальное значение, когда знаменатель максимален (числитель — постоянная величина). Преобразуем знаменатель следующим образом:
$H \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} + \frac{L}{2} \sin 2 \alpha = \frac{H}{2} + \frac{H}{2} \cos 2 \alpha + \frac{L}{2} \sin 2 \alpha = \frac{H}{2} + \left ( \frac{H}{ \sqrt{H^{2} + L^{2}}} \cos 2 \alpha + \frac{L}{ \sqrt{ H^{2} + L^{2}}} \sin 2 \alpha \right ) \frac{1}{2} \sqrt{ H^{2} + L^{2}} = \frac{H}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{ H^{2} + L^{2}} \sin ( \phi + 2 \alpha)$,
где угол $\phi$ введен так, что
$\sin \phi = \frac{H}{ \sqrt{H^{2} + L^{2}}}$ и $ \cos \phi = \frac{L}{ \sqrt{ H^{2} + L^{2}}}$
(нетрудно показать, что это всегда можно сделать.)
Поскольку максимальное значение синуса равно единице, окончательно получаем:
$v_{0} = \left ( \frac{gL^{2}}{ H + \sqrt{H^{2} + L^{2}}} \right )^{ 1/2}$.
Экстремум знаменателя можно вычислять также с помощью дифференциального исчисления.
С какой наименьшей скоростью нужно бросить тело с вершины башни высотой $H$, чтобы оно упало на расстоянии $L$ от вершины?
Решение:
Для момента времени $t_{1}$ (касания тела с Землей) запишем основные уравнения для координаты:
$x_{1} = v_{0} \cos \alpha t_{1} = L$, (1)
$y_{1} = - v_{0} \sin \alpha t_{1} + \frac{gt_{1}^{2}}{2} = H$. (2)
Имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными $\alpha, t_{1} v_{0}$. Однако, не использовано условие минимальности $v_{0}$, которое формально можно пред ставить в виде:
$v_{0} = v_{min}$. (3)
Подставляя $t_{1}$, из (1) в (2), получим:
$v_{0}^{2} = \frac{gL^{2}}{2} \cdot \frac{1}{H \cos^{2} \alpha + L \sin \alpha \cdot \cos \alpha}$.
Таким образом, задача сводится к отысканию минимума правой части (4), где варьируемым параметром является угол $\alpha$. Дробь принимает минимальное значение, когда знаменатель максимален (числитель — постоянная величина). Преобразуем знаменатель следующим образом:
$H \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} + \frac{L}{2} \sin 2 \alpha = \frac{H}{2} + \frac{H}{2} \cos 2 \alpha + \frac{L}{2} \sin 2 \alpha = \frac{H}{2} + \left ( \frac{H}{ \sqrt{H^{2} + L^{2}}} \cos 2 \alpha + \frac{L}{ \sqrt{ H^{2} + L^{2}}} \sin 2 \alpha \right ) \frac{1}{2} \sqrt{ H^{2} + L^{2}} = \frac{H}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{ H^{2} + L^{2}} \sin ( \phi + 2 \alpha)$,
где угол $\phi$ введен так, что
$\sin \phi = \frac{H}{ \sqrt{H^{2} + L^{2}}}$ и $ \cos \phi = \frac{L}{ \sqrt{ H^{2} + L^{2}}}$
(нетрудно показать, что это всегда можно сделать.)
Поскольку максимальное значение синуса равно единице, окончательно получаем:
$v_{0} = \left ( \frac{gL^{2}}{ H + \sqrt{H^{2} + L^{2}}} \right )^{ 1/2}$.
Экстремум знаменателя можно вычислять также с помощью дифференциального исчисления.
