Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13628
2020-02-29 
В огромном газовом облаке в межзвездном пространстве находится газообразный гелий при температуре $T_{0} = 10 К$. Концентрация молекул газа $n = 10^{9} м^{-3}$, радиус молекул $R = 0,1 нм$. В какой-то момент в каждом кубическом сантиметре облака одна молекула внезапно получает такой импульс, что ее скорость оказывается равной по величине $v = 10^{5} м/с$. Импульсы, полученные молекулами, направлены хаотически. Оцените время установления теплового равновесия. Какой будет установившаяся температура? Как изменится ответ на вопрос про температуру, если все полученные молекулами импульсы будут направлены в одну и ту же сторону?
Решение:
Из условия задачи следует, что на одну энергичную молекулу приходится $10^{3}$ штук медленных молекул. Для оценки времени установления теплового равновесия предположим, что после каждого столкновения энергичной молекулы с медленной молекулой их суммарная энергия делится между участниками столкновения в среднем пополам. Иными словами, после первого соударения вместо одной энергичной молекулы получаются две молекулы с вдвое меньшей энергией. Во втором поколении вместо двух энергичных молекул получаются четыре с энергиями в четыре раза меньше энергии первой молекулы и так далее. В десятом поколении молекул, получивших дополнительную энергию, будет уже $2^{10} = 1024$. Это означает, что в десятом поколении энергия, полученная в начальный момент одной молекулой, распределится по тысяче молекул, т.е. практически все молекулы в облаке получат свою порцию дополнительной энергии.
Между двумя последовательными столкновениями энергичной молекулы проходит время, равное в среднем отношению длины свободного пробега к той скорости, с которой эта молекула двигалась в данном промежутке времени. Длина свободного пробега молекулы равна $\lambda = \frac{1}{ 4 \pi R^{2}n }$. Так как после каждого столкновения скорости энергичных молекул уменьшаются в $2^{0,5}$ раза, в каждом новом поколении время между столкновениями увеличивается в $2^{0,5}$ раза. Для оценки времени установления теплового равновесия получим
$t = \frac{ \lambda }{v} ( 1 + 2^{0,5 \cdot 1} + 2^{0,5 \cdot 2} + 2^{0,5 \cdot 3} + \cdots + 2^{0,5 \cdot 10}) = \frac{ \lambda }{v} \frac{2^{0,5 \cdot 11} + 1 }{2^{0,5} - 1 } = \frac{112}{4 \pi R^{2} nv} = 9 \cdot 10^{6} c$.
Это примерно 100 суток.
Температуру $T_{1}$ найдем из закона сохранения энергии. Для одного моля молекул, каждая из которых имеет массу $m$, запишем
$\frac{3}{2} N_{A} kT_{0} + N_{A} \cdot 10^{-3} \frac{mv^{2} }{2} = \frac{3}{2} N_{A}kT_{1}$.
Отсюда найдем
$T_{1} = 1614 К$.
Если все молекулы получат импульсы в одном и том же направлении, то температура $T_{2}$ будет, очевидно, ниже, но совсем немного. Учтем, что $N_{A}m = M$ - это молярная масса газа, а $N_{A}k = R$ - это универсальная газовая постоянная. В целом облако приобретет скорость $v \frac{m}{1000m}$, что следует из закона сохранения импульса.
Суммарная энергия сложится из энергии упорядоченного движения всех молекул с найденной скоростью и энергии их хаотического движения по отношению к системе отсчета, движущейся с найденной скоростью. Температуру $T_{2}$ найдем из закона сохранения энергии:
$\frac{3}{2} RT_{0} + 10^{-3} \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{3}{2} RT_{2} + \frac{(10^{-3} Mv )^{2} }{2M}$,
откуда
$T_{2} = 1613 К$.
В огромном газовом облаке в межзвездном пространстве находится газообразный гелий при температуре $T_{0} = 10 К$. Концентрация молекул газа $n = 10^{9} м^{-3}$, радиус молекул $R = 0,1 нм$. В какой-то момент в каждом кубическом сантиметре облака одна молекула внезапно получает такой импульс, что ее скорость оказывается равной по величине $v = 10^{5} м/с$. Импульсы, полученные молекулами, направлены хаотически. Оцените время установления теплового равновесия. Какой будет установившаяся температура? Как изменится ответ на вопрос про температуру, если все полученные молекулами импульсы будут направлены в одну и ту же сторону?
Решение:
Из условия задачи следует, что на одну энергичную молекулу приходится $10^{3}$ штук медленных молекул. Для оценки времени установления теплового равновесия предположим, что после каждого столкновения энергичной молекулы с медленной молекулой их суммарная энергия делится между участниками столкновения в среднем пополам. Иными словами, после первого соударения вместо одной энергичной молекулы получаются две молекулы с вдвое меньшей энергией. Во втором поколении вместо двух энергичных молекул получаются четыре с энергиями в четыре раза меньше энергии первой молекулы и так далее. В десятом поколении молекул, получивших дополнительную энергию, будет уже $2^{10} = 1024$. Это означает, что в десятом поколении энергия, полученная в начальный момент одной молекулой, распределится по тысяче молекул, т.е. практически все молекулы в облаке получат свою порцию дополнительной энергии.
Между двумя последовательными столкновениями энергичной молекулы проходит время, равное в среднем отношению длины свободного пробега к той скорости, с которой эта молекула двигалась в данном промежутке времени. Длина свободного пробега молекулы равна $\lambda = \frac{1}{ 4 \pi R^{2}n }$. Так как после каждого столкновения скорости энергичных молекул уменьшаются в $2^{0,5}$ раза, в каждом новом поколении время между столкновениями увеличивается в $2^{0,5}$ раза. Для оценки времени установления теплового равновесия получим
$t = \frac{ \lambda }{v} ( 1 + 2^{0,5 \cdot 1} + 2^{0,5 \cdot 2} + 2^{0,5 \cdot 3} + \cdots + 2^{0,5 \cdot 10}) = \frac{ \lambda }{v} \frac{2^{0,5 \cdot 11} + 1 }{2^{0,5} - 1 } = \frac{112}{4 \pi R^{2} nv} = 9 \cdot 10^{6} c$.
Это примерно 100 суток.
Температуру $T_{1}$ найдем из закона сохранения энергии. Для одного моля молекул, каждая из которых имеет массу $m$, запишем
$\frac{3}{2} N_{A} kT_{0} + N_{A} \cdot 10^{-3} \frac{mv^{2} }{2} = \frac{3}{2} N_{A}kT_{1}$.
Отсюда найдем
$T_{1} = 1614 К$.
Если все молекулы получат импульсы в одном и том же направлении, то температура $T_{2}$ будет, очевидно, ниже, но совсем немного. Учтем, что $N_{A}m = M$ - это молярная масса газа, а $N_{A}k = R$ - это универсальная газовая постоянная. В целом облако приобретет скорость $v \frac{m}{1000m}$, что следует из закона сохранения импульса.
Суммарная энергия сложится из энергии упорядоченного движения всех молекул с найденной скоростью и энергии их хаотического движения по отношению к системе отсчета, движущейся с найденной скоростью. Температуру $T_{2}$ найдем из закона сохранения энергии:
$\frac{3}{2} RT_{0} + 10^{-3} \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{3}{2} RT_{2} + \frac{(10^{-3} Mv )^{2} }{2M}$,
откуда
$T_{2} = 1613 К$.
