Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13626
2020-02-29 
На горизонтальной поверхности стола лежит вытянутая в длину цепочка с равномерным распределением массы по длине. Цепочка расположена перпендикулярно краю стола. Столешница имеет закругленный край с радиусом кривизны, который значительно меньше длины цепочки, но значительно больше размеров звеньев цепочки. К ближайшему к краю стола концу цепочки прикреплена невесомая нить, за которую цепочку очень медленно начинают "стаскивать" со стола, причем конец нити движется вертикально под краем стола. В тот момент, когда на горизонтальной поверхности осталось только 60% длины, цепочка неудержимо заскользила и упала со стола. Каков коэффициент трения цепочки о поверхность стола?
Решение:
В момент, когда началось "неудержимое проскальзывание", со стола свешивалась часть цепочки длиной $0,4L$, где $L$ - длина всей цепочки. Длиной участка цепочки, касающегося закругленного края столешницы, можно, в соответствии с условием задачи, пренебречь. Однако нельзя пренебрегать трением на этом участке, ибо оно присутствует на всей поверхности стола, в том числе и на закругленном участке столешницы на краю стола. Поэтому сила натяжения звена цепочки, которое в данный момент находится на границе раздела горизонтальной поверхности и закругленного участка, не равно силе натяжения самого верхнего звена цепочки, которое принадлежит участку, не касающемуся стола. Рассмотрим два близких звена цепочки, находящихся на закругленном участке (см. рисунок). Касательные к цепочке, проведенные через эти два звена, образуют друг с другом малый угол $\Delta \phi$. Силы натяжения этих двух звеньев цепочки $\vec{F}_{н}$ и $\vec{F}_{в}$ направлены вдоль соответствующих касательных и образуют между собой тот же малый угол $\Delta \phi$. Поскольку участок цепочки между этими двумя звеньями неподвижен, но "готов" начать скольжение, то сумма сил натяжения компенсируется силой, с которой на выделенный участок действует закругленная поверхность столешницы, точнее, двумя силами - трения и реакции опоры. Разница величин сил натяжения $\Delta F = F_{н} - F_{в}$ невелика, силы примерно одинаковы: $F_{н} = F_{в} = F$. Касательная составляющая этих сил, равная $\Delta F$, компенсируется силой трения $F_{тр}$, а перпендикулярная составляющая, равная примерно $F \Delta \phi$, компенсируется силой нормальной реакции со стороны столешницы. Скольжение вот-вот начнется, поэтому сила трения равна произведению силы нормальной реакции и коэффициента трения, который и нужно найти. Иными словами,
$\mu F \Delta \phi = \Delta F$.
Разделим правую и левую части этого равенства на $F$ и получим дифференциальное уравнение
$\frac{ \Delta F}{F} = \mu \Delta \phi$.
Решением этого уравнения является зависимость силы натяжения от величины угла поворота:
$e^{ \phi \mu}F_{в} = F_{н}$.
Это так называемая формула Эйлера.
Угол между направлением силы в самом верхнем звене цепочки, находящемся на закругленном участке столешницы, и горизонталью равен нулю. Угол между горизонталью и силой натяжения самого нижнего звена цепочки, касающегося закругленного участка столешницы, равен $\pi/2$. Сила трения, которую нужно преодолеть, чтобы сдвинуть участок цепочки, лежащий на столе, равна $\mu \cdot 0,6mg$. Сила натяжения самого нижнего звена "закругленного" участка цепочки равна $0,4mg$. Это означает, что выполняется соотношение
$e^{ \frac{ \mu \pi}{2} } F_{в} = e^{ \frac{ \mu \pi }{2} } \mu \cdot 0,6mg = F_{н} = 0,4mg$,
или
$e^{ \frac{ \mu \pi }{2} } \mu = \frac{2}{3}$.
Решив такое уравнение для неизвестной величины $\mu$, например с помощью компьютера или калькулятора, получим
$\mu = 0,37178 \approx 0,372$.
На горизонтальной поверхности стола лежит вытянутая в длину цепочка с равномерным распределением массы по длине. Цепочка расположена перпендикулярно краю стола. Столешница имеет закругленный край с радиусом кривизны, который значительно меньше длины цепочки, но значительно больше размеров звеньев цепочки. К ближайшему к краю стола концу цепочки прикреплена невесомая нить, за которую цепочку очень медленно начинают "стаскивать" со стола, причем конец нити движется вертикально под краем стола. В тот момент, когда на горизонтальной поверхности осталось только 60% длины, цепочка неудержимо заскользила и упала со стола. Каков коэффициент трения цепочки о поверхность стола?
Решение:
В момент, когда началось "неудержимое проскальзывание", со стола свешивалась часть цепочки длиной $0,4L$, где $L$ - длина всей цепочки. Длиной участка цепочки, касающегося закругленного края столешницы, можно, в соответствии с условием задачи, пренебречь. Однако нельзя пренебрегать трением на этом участке, ибо оно присутствует на всей поверхности стола, в том числе и на закругленном участке столешницы на краю стола. Поэтому сила натяжения звена цепочки, которое в данный момент находится на границе раздела горизонтальной поверхности и закругленного участка, не равно силе натяжения самого верхнего звена цепочки, которое принадлежит участку, не касающемуся стола. Рассмотрим два близких звена цепочки, находящихся на закругленном участке (см. рисунок). Касательные к цепочке, проведенные через эти два звена, образуют друг с другом малый угол $\Delta \phi$. Силы натяжения этих двух звеньев цепочки $\vec{F}_{н}$ и $\vec{F}_{в}$ направлены вдоль соответствующих касательных и образуют между собой тот же малый угол $\Delta \phi$. Поскольку участок цепочки между этими двумя звеньями неподвижен, но "готов" начать скольжение, то сумма сил натяжения компенсируется силой, с которой на выделенный участок действует закругленная поверхность столешницы, точнее, двумя силами - трения и реакции опоры. Разница величин сил натяжения $\Delta F = F_{н} - F_{в}$ невелика, силы примерно одинаковы: $F_{н} = F_{в} = F$. Касательная составляющая этих сил, равная $\Delta F$, компенсируется силой трения $F_{тр}$, а перпендикулярная составляющая, равная примерно $F \Delta \phi$, компенсируется силой нормальной реакции со стороны столешницы. Скольжение вот-вот начнется, поэтому сила трения равна произведению силы нормальной реакции и коэффициента трения, который и нужно найти. Иными словами,
$\mu F \Delta \phi = \Delta F$.
Разделим правую и левую части этого равенства на $F$ и получим дифференциальное уравнение
$\frac{ \Delta F}{F} = \mu \Delta \phi$.
Решением этого уравнения является зависимость силы натяжения от величины угла поворота:
$e^{ \phi \mu}F_{в} = F_{н}$.
Это так называемая формула Эйлера.
Угол между направлением силы в самом верхнем звене цепочки, находящемся на закругленном участке столешницы, и горизонталью равен нулю. Угол между горизонталью и силой натяжения самого нижнего звена цепочки, касающегося закругленного участка столешницы, равен $\pi/2$. Сила трения, которую нужно преодолеть, чтобы сдвинуть участок цепочки, лежащий на столе, равна $\mu \cdot 0,6mg$. Сила натяжения самого нижнего звена "закругленного" участка цепочки равна $0,4mg$. Это означает, что выполняется соотношение
$e^{ \frac{ \mu \pi}{2} } F_{в} = e^{ \frac{ \mu \pi }{2} } \mu \cdot 0,6mg = F_{н} = 0,4mg$,
или
$e^{ \frac{ \mu \pi }{2} } \mu = \frac{2}{3}$.
Решив такое уравнение для неизвестной величины $\mu$, например с помощью компьютера или калькулятора, получим
$\mu = 0,37178 \approx 0,372$.
