Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13617
2020-02-29 
На плоский лист парафиновой бумаги (бумаги, пропитанной парафином), лежащий на горизонтальном столе, капнули воду, которая парафин не смачивает и поэтому собирается в каплю. Высота этой капли $h$, коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma$, радиус кривизны капли вблизи ее верхней точки $R$. Найдите площадь $S_{0}$ горизонтального участка поверхности капли, если масса капли $m$, плотность воды $\rho$, а ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Физические величины, характеризующие каплю и указанные в условии ($h, R, \sigma, m, \rho$) не являются независимыми, т.е. их нельзя выбрать произвольными. Но раз уж они даны в условии, то будем считать, что их взаимосвязь "правильная".
Реальная площадь $S_{1}$ контакта воды с бумагой гораздо меньше площади $S_{0}$ почти горизонтального участка поверхности капли в ее нижней части. Это связано с тем, что между шершавой бумагой и каплей воды имеется множество участков небольшой толщины, сравнимой с размерами неровностей бумаги, которые заполнены воздухом при атмосферном давлении. Получается, что капля практически по всей своей поверхности соприкасается с воздухом, поэтому на каплю действует вверх выталкивающая сила, равная объему капли, умноженному на плотность воздуха и на ускорение свободного падения. Поскольку плотность воздуха значительно меньше плотности воды, можно эту выталкивающую силу не учитывать, т.е. можно вообще не рассматривать участие воздуха в уравновешивании всех сил, действующих на каплю.
Давление внутри капли вблизи ее самой верхней точки больше внешнего атмосферного давления на величину так называемого лапласовского давления
$p_{1} = \frac{2 \sigma}{R}$.
Давление воды, вблизи горизонтального участка поверхности капли больше $p_{1}$ на величину гидростатического давления $\rho gh$:
$p_{2} = \frac{2 \sigma}{R} + \rho gh$.
Сила, с которой вода капли действует сверху на тонкий слой воды вблизи горизонтального участка поверхности, равна $S_{0}p_{2}$. Снизу на этот слой действует сила реакции бумаги. Масса этого тонкого слоя близка к нулю, поэтому бумага действует на тонкий слой воды с такой же по величине ($S_{0}p_{2}$), но противоположно направленной силой. На каплю воды действуют всего две силы: сила тяжести и сила реакции бумаги (взаимодействием капли с воздухом мы пренебрегли). Капля находится в покое, т.е. сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю. Следовательно, выполняется соотношение
$S_{0} \left ( \frac{2 \sigma}{R} + \rho gh \right ) = mg$,
откуда находим
$S_{0} = \frac{mg}{ \frac{2 \sigma}{R} + \rho gh }$.
На плоский лист парафиновой бумаги (бумаги, пропитанной парафином), лежащий на горизонтальном столе, капнули воду, которая парафин не смачивает и поэтому собирается в каплю. Высота этой капли $h$, коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma$, радиус кривизны капли вблизи ее верхней точки $R$. Найдите площадь $S_{0}$ горизонтального участка поверхности капли, если масса капли $m$, плотность воды $\rho$, а ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Физические величины, характеризующие каплю и указанные в условии ($h, R, \sigma, m, \rho$) не являются независимыми, т.е. их нельзя выбрать произвольными. Но раз уж они даны в условии, то будем считать, что их взаимосвязь "правильная".
Реальная площадь $S_{1}$ контакта воды с бумагой гораздо меньше площади $S_{0}$ почти горизонтального участка поверхности капли в ее нижней части. Это связано с тем, что между шершавой бумагой и каплей воды имеется множество участков небольшой толщины, сравнимой с размерами неровностей бумаги, которые заполнены воздухом при атмосферном давлении. Получается, что капля практически по всей своей поверхности соприкасается с воздухом, поэтому на каплю действует вверх выталкивающая сила, равная объему капли, умноженному на плотность воздуха и на ускорение свободного падения. Поскольку плотность воздуха значительно меньше плотности воды, можно эту выталкивающую силу не учитывать, т.е. можно вообще не рассматривать участие воздуха в уравновешивании всех сил, действующих на каплю.
Давление внутри капли вблизи ее самой верхней точки больше внешнего атмосферного давления на величину так называемого лапласовского давления
$p_{1} = \frac{2 \sigma}{R}$.
Давление воды, вблизи горизонтального участка поверхности капли больше $p_{1}$ на величину гидростатического давления $\rho gh$:
$p_{2} = \frac{2 \sigma}{R} + \rho gh$.
Сила, с которой вода капли действует сверху на тонкий слой воды вблизи горизонтального участка поверхности, равна $S_{0}p_{2}$. Снизу на этот слой действует сила реакции бумаги. Масса этого тонкого слоя близка к нулю, поэтому бумага действует на тонкий слой воды с такой же по величине ($S_{0}p_{2}$), но противоположно направленной силой. На каплю воды действуют всего две силы: сила тяжести и сила реакции бумаги (взаимодействием капли с воздухом мы пренебрегли). Капля находится в покое, т.е. сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю. Следовательно, выполняется соотношение
$S_{0} \left ( \frac{2 \sigma}{R} + \rho gh \right ) = mg$,
откуда находим
$S_{0} = \frac{mg}{ \frac{2 \sigma}{R} + \rho gh }$.
