Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13614
2020-02-29 
В цилиндрический стакан с площадью основания $S = 400 см^{2}$ налита вода, в которую погружен кубик льда со стороной $a = 2 см$ (см. рисунок). В стакан наливают такое количество керосина, что верхняя грань кубика совпадает с поверхностью керосина. Кубик вынимают из стакана, а вместо него помещают другой ледяной кубик со стороной $b = 6 см$. Какой объем керосина необходимо долить в стакан, чтобы кубик вновь был доверху покрыт керосином? Считайте, что оба кубика не - касаются дна, а жидкость из стакана не выливается. Плотности льда, воды и керосина равны $\rho = 0,9 г/см^{3}, \rho_{0} = 1,0 г/см^{3}$ и $\rho_{1} = 0,8 г/см^{3}$ соответственно.
Решение:
По закону Архимеда выталкивающая сила, действующая на первый кубик, равна весу двух вытесненных жидкостей - воды и керосина:
$F_{выт} = \rho_{0} ga^{2} (a - x) + \rho_{1} ga^{2} x$.
Эта сила уравновешивается силой тяжести ледяного кубика
$F_{т} = \rho g a^{3}$.
Отсюда получаем
$\rho a = \rho_{0}a - \rho_{0}x + \rho_{1}x$,
и
$x = a \frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho_{0} - \rho_{1} }$.
Теперь вычислим объем керосина $V_{1}$, который налили в стакан в первом случае. Керосин занимает объем цилиндра высотой $x$ и площадью основания $S$, из которого вырезан цилиндр такой же высоты, но с меньшей площадью основания, равной $a^{2}$. Поэтому
$V_{1} = x(S - a^{2}) = \frac{ \rho_{0} - \rho}{ \rho_{0} - \rho_{1} } a(S - a^{2})$.
Если во втором случае ребро кубика равно $b$, то соответствующий объем керосина $V_{2}$ находим заменой $a$ и на $b$:
$V_{2} = \frac{ \rho_{0} - \rho}{ \rho_{0} - \rho_{1} } b (S - b^{2})$.
Искомый объем керосина равняется разности указанных объемов:
$V = V_{2} - V_{1} = \frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho_{0} - \rho_{1} } = (b(S - b^{2}) - a(S - a^{2} )) = 696 см^{3}$.
В цилиндрический стакан с площадью основания $S = 400 см^{2}$ налита вода, в которую погружен кубик льда со стороной $a = 2 см$ (см. рисунок). В стакан наливают такое количество керосина, что верхняя грань кубика совпадает с поверхностью керосина. Кубик вынимают из стакана, а вместо него помещают другой ледяной кубик со стороной $b = 6 см$. Какой объем керосина необходимо долить в стакан, чтобы кубик вновь был доверху покрыт керосином? Считайте, что оба кубика не - касаются дна, а жидкость из стакана не выливается. Плотности льда, воды и керосина равны $\rho = 0,9 г/см^{3}, \rho_{0} = 1,0 г/см^{3}$ и $\rho_{1} = 0,8 г/см^{3}$ соответственно.
Решение:
По закону Архимеда выталкивающая сила, действующая на первый кубик, равна весу двух вытесненных жидкостей - воды и керосина:
$F_{выт} = \rho_{0} ga^{2} (a - x) + \rho_{1} ga^{2} x$.
Эта сила уравновешивается силой тяжести ледяного кубика
$F_{т} = \rho g a^{3}$.
Отсюда получаем
$\rho a = \rho_{0}a - \rho_{0}x + \rho_{1}x$,
и
$x = a \frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho_{0} - \rho_{1} }$.
Теперь вычислим объем керосина $V_{1}$, который налили в стакан в первом случае. Керосин занимает объем цилиндра высотой $x$ и площадью основания $S$, из которого вырезан цилиндр такой же высоты, но с меньшей площадью основания, равной $a^{2}$. Поэтому
$V_{1} = x(S - a^{2}) = \frac{ \rho_{0} - \rho}{ \rho_{0} - \rho_{1} } a(S - a^{2})$.
Если во втором случае ребро кубика равно $b$, то соответствующий объем керосина $V_{2}$ находим заменой $a$ и на $b$:
$V_{2} = \frac{ \rho_{0} - \rho}{ \rho_{0} - \rho_{1} } b (S - b^{2})$.
Искомый объем керосина равняется разности указанных объемов:
$V = V_{2} - V_{1} = \frac{ \rho_{0} - \rho }{ \rho_{0} - \rho_{1} } = (b(S - b^{2}) - a(S - a^{2} )) = 696 см^{3}$.
