Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13612
2020-02-29 
Льдина массой $M$ покоится на гладкой горизонтальной ледяной поверхности (рис.; вид сбоку). Угол наклона $BAC$ равен $\alpha$, $BC = H$. По наклонной плоскости от точки $A$ к точке $B$ начинает подниматься с постоянной относительно льдины скоростью $v$ пингвин массой $m$. Пройдя треть пути до вершины, пингвин спотыкается и падает животом на льдину. При этом сразу после падения его скорость относительно льдины оставалась равной $v$. Какова конечная скорость льдины, если коэффициент трения между животом пингвина и поверхностью льдины $\mu$? До начала движения пингвин неподвижно стоял в точке $A$ на покоящейся льдине. Трением льдины о горизонтальную поверхность пренебречь
Решение:
Поскольку на систему льдина-пингвин в горизонтальном направлении внешние силы не действуют, проекция полного импульса на это направление сохраняется. Пусть в некоторый момент времени скорость льдины относительно земли равна $U$ и направлена влево, а скорость пингвина относительно льдины равна $V$ и направлена вверх по склону. Тогда скорость пингвина относительно земли равна $\vec{U} + \vec{V}$, а ее горизонтальная проекция равна $U - V \cos \alpha$. Из закона сохранения импульса получаем
$MU + m(U - V \cos \alpha ) = 0$, или $U = \frac{mV \cos \alpha }{M + m}$.
Пока пингвин равномерно взбирается по склону, $V = v$ и скорость льдины постоянна. Затем пингвин спотыкается и начинает скользить вверх по льдине. Трение постепенно тормозит его, соответственно будет постепенно замедляться и льдина.
Обозначим ускорение льдины относительно земли через $\vec{A}$, а ускорение пингвина относительно льдины - через $\vec{a}$ (рис.). Запишем второй закон Ньютона для льдины в проекции на горизонтальную ось:
$F \cos \alpha + N \sin \alpha = MA$
и для пингвина в проекции на оси $x$ и $y$:
$F + mg \sin \alpha = m(a - A \cos \alpha )$,
$N - mg \cos \alpha = - mA \sin \alpha$,
где $F = \mu N$ - сила трения скольжения. Данная система уравнений позволяет представить ускорение пингвина в виде
$a_{ \uparrow } =\frac{ \left ( 1 + \frac{M}{m} \right )g}{ \sin \alpha + \xi_{+} \frac{M}{m}}$, где $\xi_{+} = \frac{1}{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha }$.
Индекс "$\uparrow$" помечает, что это ускорение найдено для ситуации, когда пингвин скользит вверх.
Имея начальную скорость $v$ и замедляясь с постоянным ускорением $a_{ \uparrow}$, пингвин должен проехать до полной остановки путь $s_{ \uparrow} = \frac{v^{2}}{2a_{ \uparrow} }$. Длина склона равна $L = \frac{H}{ \sin \alpha}$; когда пингвин споткнулся, его отделяло от верхнего края расстояние $\frac{2L}{3}$.
Предположим, что
$s_{ \uparrow} > \frac{2L}{3}$, или $\frac{v^{2} }{2a_{ \uparrow } } > \frac{2H}{3 \sin \alpha}$.
Тогда пингвин не успеет затормозить и вылетит со льдины, как с трамплина. Скорость пингвина $v_{ \uparrow}$ относительно льдины в момент отрыва можно определить из формулы равноускоренного движения
$\frac{v^{2} - v_{ \uparrow}^{2}}{2a_{ \uparrow} } = \frac{2H}{3 \sin \alpha}$
и найти скорость льдины $U_{ \uparrow}$ в момент отрыва пингвина:
$U_{ \uparrow} = \frac{m \cos \alpha}{m + M} \sqrt{v^{2} - \frac{4Ha_{ \uparrow } }{3 \sin \alpha } }$.
Это и будет конечной скоростью льдины в рассматриваемом случае.
Предположим теперь, что условие $s_{ \uparrow} > \sqrt{2L}{3}$ не выполнено. Тогда, проехав вверх по склону расстояние $s_{ \uparrow}$, пингвин перестанет скользить вверх, его скорость, а значит, и скорость льдины обратятся в этот момент в ноль. При этом если $\mu \geq tg \alpha$, то больше пингвин соскальзывать не будет, а льдина останется неподвижной. Напротив, если $\mu < tg \alpha$, то пингвин начнет соскальзывать вниз. Сила трения $F$ изменит направление на противоположное, в результате для ускорения пингвина получим
$a_{ \downarrow } = \frac{ \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) g }{ \sin \alpha + \xi_{-} \frac{M}{m} }$, где $\xi_{-} = \frac{1}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}$.
Зная $a_{ \downarrow}$, найдем скорость пингвина $v_{ \downarrow}$, которую он приобретет, съехав по склону на расстояние $\frac{L}{3} + s_{ \uparrow}$ (до самой точки $A$), и соответствующую ей скорость льдины:
$U_{ \downarrow} = \frac{m \cos \alpha}{m + M} \sqrt{ \frac{2Ha_{ \downarrow} }{3 \sin \alpha } + \frac{a_{ \downarrow} }{a_{ \uparrow} }v^{2} }$.
Льдина массой $M$ покоится на гладкой горизонтальной ледяной поверхности (рис.; вид сбоку). Угол наклона $BAC$ равен $\alpha$, $BC = H$. По наклонной плоскости от точки $A$ к точке $B$ начинает подниматься с постоянной относительно льдины скоростью $v$ пингвин массой $m$. Пройдя треть пути до вершины, пингвин спотыкается и падает животом на льдину. При этом сразу после падения его скорость относительно льдины оставалась равной $v$. Какова конечная скорость льдины, если коэффициент трения между животом пингвина и поверхностью льдины $\mu$? До начала движения пингвин неподвижно стоял в точке $A$ на покоящейся льдине. Трением льдины о горизонтальную поверхность пренебречь
Решение:
Поскольку на систему льдина-пингвин в горизонтальном направлении внешние силы не действуют, проекция полного импульса на это направление сохраняется. Пусть в некоторый момент времени скорость льдины относительно земли равна $U$ и направлена влево, а скорость пингвина относительно льдины равна $V$ и направлена вверх по склону. Тогда скорость пингвина относительно земли равна $\vec{U} + \vec{V}$, а ее горизонтальная проекция равна $U - V \cos \alpha$. Из закона сохранения импульса получаем
$MU + m(U - V \cos \alpha ) = 0$, или $U = \frac{mV \cos \alpha }{M + m}$.
Пока пингвин равномерно взбирается по склону, $V = v$ и скорость льдины постоянна. Затем пингвин спотыкается и начинает скользить вверх по льдине. Трение постепенно тормозит его, соответственно будет постепенно замедляться и льдина.
Обозначим ускорение льдины относительно земли через $\vec{A}$, а ускорение пингвина относительно льдины - через $\vec{a}$ (рис.). Запишем второй закон Ньютона для льдины в проекции на горизонтальную ось:
$F \cos \alpha + N \sin \alpha = MA$
и для пингвина в проекции на оси $x$ и $y$:
$F + mg \sin \alpha = m(a - A \cos \alpha )$,
$N - mg \cos \alpha = - mA \sin \alpha$,
где $F = \mu N$ - сила трения скольжения. Данная система уравнений позволяет представить ускорение пингвина в виде
$a_{ \uparrow } =\frac{ \left ( 1 + \frac{M}{m} \right )g}{ \sin \alpha + \xi_{+} \frac{M}{m}}$, где $\xi_{+} = \frac{1}{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha }$.
Индекс "$\uparrow$" помечает, что это ускорение найдено для ситуации, когда пингвин скользит вверх.
Имея начальную скорость $v$ и замедляясь с постоянным ускорением $a_{ \uparrow}$, пингвин должен проехать до полной остановки путь $s_{ \uparrow} = \frac{v^{2}}{2a_{ \uparrow} }$. Длина склона равна $L = \frac{H}{ \sin \alpha}$; когда пингвин споткнулся, его отделяло от верхнего края расстояние $\frac{2L}{3}$.
Предположим, что
$s_{ \uparrow} > \frac{2L}{3}$, или $\frac{v^{2} }{2a_{ \uparrow } } > \frac{2H}{3 \sin \alpha}$.
Тогда пингвин не успеет затормозить и вылетит со льдины, как с трамплина. Скорость пингвина $v_{ \uparrow}$ относительно льдины в момент отрыва можно определить из формулы равноускоренного движения
$\frac{v^{2} - v_{ \uparrow}^{2}}{2a_{ \uparrow} } = \frac{2H}{3 \sin \alpha}$
и найти скорость льдины $U_{ \uparrow}$ в момент отрыва пингвина:
$U_{ \uparrow} = \frac{m \cos \alpha}{m + M} \sqrt{v^{2} - \frac{4Ha_{ \uparrow } }{3 \sin \alpha } }$.
Это и будет конечной скоростью льдины в рассматриваемом случае.
Предположим теперь, что условие $s_{ \uparrow} > \sqrt{2L}{3}$ не выполнено. Тогда, проехав вверх по склону расстояние $s_{ \uparrow}$, пингвин перестанет скользить вверх, его скорость, а значит, и скорость льдины обратятся в этот момент в ноль. При этом если $\mu \geq tg \alpha$, то больше пингвин соскальзывать не будет, а льдина останется неподвижной. Напротив, если $\mu < tg \alpha$, то пингвин начнет соскальзывать вниз. Сила трения $F$ изменит направление на противоположное, в результате для ускорения пингвина получим
$a_{ \downarrow } = \frac{ \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) g }{ \sin \alpha + \xi_{-} \frac{M}{m} }$, где $\xi_{-} = \frac{1}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}$.
Зная $a_{ \downarrow}$, найдем скорость пингвина $v_{ \downarrow}$, которую он приобретет, съехав по склону на расстояние $\frac{L}{3} + s_{ \uparrow}$ (до самой точки $A$), и соответствующую ей скорость льдины:
$U_{ \downarrow} = \frac{m \cos \alpha}{m + M} \sqrt{ \frac{2Ha_{ \downarrow} }{3 \sin \alpha } + \frac{a_{ \downarrow} }{a_{ \uparrow} }v^{2} }$.
