Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13611
2020-02-29 
Два робота двигаются по круговым траекториям вокруг общего центра с постоянными по модулю скоростями, радиус траектории первого $R$, второго $\sqrt{2} R$ (рис.). В начальный момент времени первый робот измерил расстояние до второго, оно оказалось равным $R$. Сделав половину оборота, первый робот снова измерил расстояние до второго. Оно стало равным $\sqrt{3}R$. Какое время нужно второму роботу, чтобы сделать один полный оборот вокруг центра? Известно, что первый робот делает оборот за $T = 210 с$, а второй не может совершить оборот быстрее чем за $t_{m} = 100 с$.
Решение:
Пусть точка O - общий центр круговых траекторий двух роботов, точка A - положение первого робота в начальный момент времени, точка B - его положение через пол-оборота, т.е. в момент $\frac{T}{2} = 105 с$ (рис.). Определим положение второго робота в эти же моменты времени. В начальный момент, по условию задачи, он может находиться в одной из двух точек $C_{1}$ или $C_{2}$, причем
$AC_{1} = AC_{2} = R, OC_{1} = OC_{2} = \sqrt{2}, OA = R$.
Мы изобразили треугольники $OAC_{1}$ и $OAC_{2}$ прямоугольными, потому что для них выполняется теорема Пифагора. Так как все катеты у этих треугольников равны, то $\angle AOC_{1} = \angle AOC_{2} = 45^{ \circ}$. В момент $\frac{T}{2}$ расстояние между роботами равно $\sqrt{3}R$. На таком расстоянии от B снова находятся две точки $D_{1}$ и $D_{2}$, причем
$BD_{1} = BD_{2} = \sqrt{3}R, OD_{1} = OD_{2} = \sqrt{2}R, OB = R$.
Треугольники $BOD_{1}$ и $BOD_{2}$ тоже прямоугольные - ведь их катеты и гипотенузы снова удовлетворяют теореме Пифагора. Проанализируем возможные варианты перемещения второго робота за время $\frac{T}{2}$. В условии задачи не сказано, в каком направлении движутся роботы. Пусть второй робот движется по часовой стрелке и за время $\frac{T}{2}$ сдвигается по своей окружности на угол $\phi$. Будем, например, измерять этот угол в градусах. Полный оборот в $360^{ \circ}$ он сделает за время $t$, определяемое из условия постоянства скорости:
$\frac{ \phi}{ \frac{T}{2}} = \frac{360^{ \circ}}{t}$,
откуда
$t = T \frac{180^{ \circ} }{ \phi}$.
На эту величину по условию имеется ограничение: $T \frac{180^{ \circ} }{ \phi} \geq t_{m}$, откуда получаем $\phi \leq 180^{ \circ} \frac{T}{t_{m} }$. Значит, величина $\phi$ не может превосходить $\phi_{m} = 378^{ \circ}$. Поэтому возможны следующие варианты.
1) Второй робот переместился из $C_{1}$ в $D_{1}$, что соответствует $\phi = 45^{ \circ}$ и периоду обращения второго робота
$T_{1} = T \frac{180^{ \circ} }{45^{ \circ} } = 4T = 840 с$.
2) Он переместился из $C_{1}$ в $D_{2}$, тогда $\phi = 225^{ \circ}$ и период
$T_{2} = T \frac{180^{ \circ}}{225^{ \circ}} = 168 с$.
3) Перемещение из $C_{2}$ в $D_{1}$: $\phi = 135^{ \circ}$, период
$T_{4} = T \frac{180^{ \circ}}{135^{ \circ}} = 280 с$.
4) Перемещение из $C_{2}$ в $D_{2}$ : $\phi = 315^{ \circ}$, период
$T_{4} = T \frac{180^{ \circ} }{315^{ \circ} } = 120 с$.
Все эти значения периода обращения второго робота удовлетворяют условию задачи. Нетрудно также проверить, что, рассматривая движение против часовой стрелки, мы получим тот же набор значений периодов.
Два робота двигаются по круговым траекториям вокруг общего центра с постоянными по модулю скоростями, радиус траектории первого $R$, второго $\sqrt{2} R$ (рис.). В начальный момент времени первый робот измерил расстояние до второго, оно оказалось равным $R$. Сделав половину оборота, первый робот снова измерил расстояние до второго. Оно стало равным $\sqrt{3}R$. Какое время нужно второму роботу, чтобы сделать один полный оборот вокруг центра? Известно, что первый робот делает оборот за $T = 210 с$, а второй не может совершить оборот быстрее чем за $t_{m} = 100 с$.
Решение:
Пусть точка O - общий центр круговых траекторий двух роботов, точка A - положение первого робота в начальный момент времени, точка B - его положение через пол-оборота, т.е. в момент $\frac{T}{2} = 105 с$ (рис.). Определим положение второго робота в эти же моменты времени. В начальный момент, по условию задачи, он может находиться в одной из двух точек $C_{1}$ или $C_{2}$, причем
$AC_{1} = AC_{2} = R, OC_{1} = OC_{2} = \sqrt{2}, OA = R$.
Мы изобразили треугольники $OAC_{1}$ и $OAC_{2}$ прямоугольными, потому что для них выполняется теорема Пифагора. Так как все катеты у этих треугольников равны, то $\angle AOC_{1} = \angle AOC_{2} = 45^{ \circ}$. В момент $\frac{T}{2}$ расстояние между роботами равно $\sqrt{3}R$. На таком расстоянии от B снова находятся две точки $D_{1}$ и $D_{2}$, причем
$BD_{1} = BD_{2} = \sqrt{3}R, OD_{1} = OD_{2} = \sqrt{2}R, OB = R$.
Треугольники $BOD_{1}$ и $BOD_{2}$ тоже прямоугольные - ведь их катеты и гипотенузы снова удовлетворяют теореме Пифагора. Проанализируем возможные варианты перемещения второго робота за время $\frac{T}{2}$. В условии задачи не сказано, в каком направлении движутся роботы. Пусть второй робот движется по часовой стрелке и за время $\frac{T}{2}$ сдвигается по своей окружности на угол $\phi$. Будем, например, измерять этот угол в градусах. Полный оборот в $360^{ \circ}$ он сделает за время $t$, определяемое из условия постоянства скорости:
$\frac{ \phi}{ \frac{T}{2}} = \frac{360^{ \circ}}{t}$,
откуда
$t = T \frac{180^{ \circ} }{ \phi}$.
На эту величину по условию имеется ограничение: $T \frac{180^{ \circ} }{ \phi} \geq t_{m}$, откуда получаем $\phi \leq 180^{ \circ} \frac{T}{t_{m} }$. Значит, величина $\phi$ не может превосходить $\phi_{m} = 378^{ \circ}$. Поэтому возможны следующие варианты.
1) Второй робот переместился из $C_{1}$ в $D_{1}$, что соответствует $\phi = 45^{ \circ}$ и периоду обращения второго робота
$T_{1} = T \frac{180^{ \circ} }{45^{ \circ} } = 4T = 840 с$.
2) Он переместился из $C_{1}$ в $D_{2}$, тогда $\phi = 225^{ \circ}$ и период
$T_{2} = T \frac{180^{ \circ}}{225^{ \circ}} = 168 с$.
3) Перемещение из $C_{2}$ в $D_{1}$: $\phi = 135^{ \circ}$, период
$T_{4} = T \frac{180^{ \circ}}{135^{ \circ}} = 280 с$.
4) Перемещение из $C_{2}$ в $D_{2}$ : $\phi = 315^{ \circ}$, период
$T_{4} = T \frac{180^{ \circ} }{315^{ \circ} } = 120 с$.
Все эти значения периода обращения второго робота удовлетворяют условию задачи. Нетрудно также проверить, что, рассматривая движение против часовой стрелки, мы получим тот же набор значений периодов.
