Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13604
2020-02-29 
Незаряженный медный цилиндр с радиусом поперечного сечения $R$ и длиной $L \gg R$ раскрутили вокруг его оси симметрии до угловой скорости $\omega$ и оставили крутиться в космосе ( $\omega R \ll c$ ). Как распределены электрические заряды внутри цилиндра и как зависят электрическое и магнитное поля вблизи середины цилиндра от расстояния до оси вращения?
Решение:
Поскольку скорости движения всех частей цилиндра по условию задачи значительно меньше скорости света $c$, то основную роль будут играть электрические силы, а магнитное взаимодействие лишь создаст небольшую добавку к этим основным силам. Суммарный заряд цилиндра равен нулю, поэтому вне объема цилиндра и электрическое поле и магнитное поле равны нулю. Внутри сплошного медного проводника, как жидкость в банке, могут свободно перемещаться носители заряда, т.е. электроны. При установившемся вращении цилиндра на каждый свободный электрон массой $m_{e}$, находящийся на расстоянии х от оси вращения, действует электрическая сила, направленная к оси вращения и равная по величине
$F_{э} = m_{e}x \omega^{2}$.
Следовательно, электрическое поле зависит от расстояния до оси цилиндра по закону
$E_{x} = \frac{F_{э}}{e} = \frac{m_{e} \omega^{2}x }{e}$.
Здесь величина $e$ - это положительный заряд, равный заряду протона (или величине заряда электрона).
Так как электрическая сила и, соответственно, электрическое поле растут линейно с удалением от оси вращения, то это означает, что внутри цилиндра плотность зарядов $\rho$ постоянна и положительна. Согласно теореме Гаусса электрическое поле можно найти через поток вектора $\vec{E}$ сквозь выбранную поверхность:
$\frac{m_{e} \omega^{2}x }{e} = E_{x} = \frac{ \int_{0}^{x} dy \cdot 2 \pi y \rho }{2 \pi x \epsilon_{0} }$.
Отсюда находим плотность зарядов в объеме цилиндра:
$\rho = \frac{2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^{2}}{e}$.
Поскольку суммарный заряд цилиндра равен нулю, то выполняется еще одно соотношение:
$R^{2} \pi \rho + \sigma \cdot 2\ pi R = 0$.
Отсюда находим поверхностную плотность $\sigma$ зарядов на цилиндре:
$\sigma = - \frac{R \rho}{2} = - \frac{R \epsilon_{0}m_{e} \omega^{2}}{e}$,
которая имеет отрицательный знак.
В силу симметрии вращающегося цилиндра, имеющего суммарный нулевой электрический заряд, магнитное поле на его оси должно быть равно нулю. Действительно, выберем длинный прямоугольный контур для подсчета суммарного тока, протекающего через поверхность, ограниченную этим контуром, так, что одна длинная сторона находится на оси цилиндра, другая длинная сторона, параллельная оси, находится вне цилиндра, а две оставшиеся стороны перпендикулярны оси цилиндра. За любой промежуток времени суммарный заряд, прошедший через этот контур, равен нулю. А поле снаружи тоже равно нулю. Поэтому магнитное поле на оси действительно равно нулю. Если поперечные размеры контура изменить, оставив неизменной его большую длину и одну из длинных сторон на оси цилиндра, а расстояние х от оси до второй длинной стороны выбрать меньшим радиуса цилиндра, то в этом случае поток зарядов через такой контур не равен нулю. Соответственно, не равно нулю магнитное поле в объеме цилиндра и направлено оно вдоль оси цилиндра. Итак,
$B_{x}L = \mu_{0} \frac{ \pi x^{2} L \rho }{ \frac{2 \pi}{ \omega } }$,
откуда находим индукцию магнитного поля:
$B_{x} = \frac{ \mu_{0} \omega x^{2} \rho }{2} = \frac{ \mu_{0} x^{2} \epsilon_{0} m_{e} \omega^{3} }{e} = \frac{x^{2} m_{e} \omega^{3} }{ec^{2} }$.
"Добавочная" магнитная сила, действующая на каждый электрон, находящийся на расстоянии х от оси внутри цилиндра, равна
$F_{м} = e ( \omega x) B_{x} = \mu_{0} x^{3} \epsilon_{0} m_{e} \omega^{4} = \frac{x^{3} m_{e} \omega^{4} }{c^{2} }$.
Отношение магнитной силы к электрической равно
$\frac{F_{м}}{F_{э} } = \mu_{0} \epsilon_{0} x^{2} \omega^{2} = \left ( \frac{x \omega }{c} \right )^{2}$,
т.е. в рассматриваемой ситуации магнитные силы действительно значительно меньше электрических.
Незаряженный медный цилиндр с радиусом поперечного сечения $R$ и длиной $L \gg R$ раскрутили вокруг его оси симметрии до угловой скорости $\omega$ и оставили крутиться в космосе ( $\omega R \ll c$ ). Как распределены электрические заряды внутри цилиндра и как зависят электрическое и магнитное поля вблизи середины цилиндра от расстояния до оси вращения?
Решение:
Поскольку скорости движения всех частей цилиндра по условию задачи значительно меньше скорости света $c$, то основную роль будут играть электрические силы, а магнитное взаимодействие лишь создаст небольшую добавку к этим основным силам. Суммарный заряд цилиндра равен нулю, поэтому вне объема цилиндра и электрическое поле и магнитное поле равны нулю. Внутри сплошного медного проводника, как жидкость в банке, могут свободно перемещаться носители заряда, т.е. электроны. При установившемся вращении цилиндра на каждый свободный электрон массой $m_{e}$, находящийся на расстоянии х от оси вращения, действует электрическая сила, направленная к оси вращения и равная по величине
$F_{э} = m_{e}x \omega^{2}$.
Следовательно, электрическое поле зависит от расстояния до оси цилиндра по закону
$E_{x} = \frac{F_{э}}{e} = \frac{m_{e} \omega^{2}x }{e}$.
Здесь величина $e$ - это положительный заряд, равный заряду протона (или величине заряда электрона).
Так как электрическая сила и, соответственно, электрическое поле растут линейно с удалением от оси вращения, то это означает, что внутри цилиндра плотность зарядов $\rho$ постоянна и положительна. Согласно теореме Гаусса электрическое поле можно найти через поток вектора $\vec{E}$ сквозь выбранную поверхность:
$\frac{m_{e} \omega^{2}x }{e} = E_{x} = \frac{ \int_{0}^{x} dy \cdot 2 \pi y \rho }{2 \pi x \epsilon_{0} }$.
Отсюда находим плотность зарядов в объеме цилиндра:
$\rho = \frac{2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^{2}}{e}$.
Поскольку суммарный заряд цилиндра равен нулю, то выполняется еще одно соотношение:
$R^{2} \pi \rho + \sigma \cdot 2\ pi R = 0$.
Отсюда находим поверхностную плотность $\sigma$ зарядов на цилиндре:
$\sigma = - \frac{R \rho}{2} = - \frac{R \epsilon_{0}m_{e} \omega^{2}}{e}$,
которая имеет отрицательный знак.
В силу симметрии вращающегося цилиндра, имеющего суммарный нулевой электрический заряд, магнитное поле на его оси должно быть равно нулю. Действительно, выберем длинный прямоугольный контур для подсчета суммарного тока, протекающего через поверхность, ограниченную этим контуром, так, что одна длинная сторона находится на оси цилиндра, другая длинная сторона, параллельная оси, находится вне цилиндра, а две оставшиеся стороны перпендикулярны оси цилиндра. За любой промежуток времени суммарный заряд, прошедший через этот контур, равен нулю. А поле снаружи тоже равно нулю. Поэтому магнитное поле на оси действительно равно нулю. Если поперечные размеры контура изменить, оставив неизменной его большую длину и одну из длинных сторон на оси цилиндра, а расстояние х от оси до второй длинной стороны выбрать меньшим радиуса цилиндра, то в этом случае поток зарядов через такой контур не равен нулю. Соответственно, не равно нулю магнитное поле в объеме цилиндра и направлено оно вдоль оси цилиндра. Итак,
$B_{x}L = \mu_{0} \frac{ \pi x^{2} L \rho }{ \frac{2 \pi}{ \omega } }$,
откуда находим индукцию магнитного поля:
$B_{x} = \frac{ \mu_{0} \omega x^{2} \rho }{2} = \frac{ \mu_{0} x^{2} \epsilon_{0} m_{e} \omega^{3} }{e} = \frac{x^{2} m_{e} \omega^{3} }{ec^{2} }$.
"Добавочная" магнитная сила, действующая на каждый электрон, находящийся на расстоянии х от оси внутри цилиндра, равна
$F_{м} = e ( \omega x) B_{x} = \mu_{0} x^{3} \epsilon_{0} m_{e} \omega^{4} = \frac{x^{3} m_{e} \omega^{4} }{c^{2} }$.
Отношение магнитной силы к электрической равно
$\frac{F_{м}}{F_{э} } = \mu_{0} \epsilon_{0} x^{2} \omega^{2} = \left ( \frac{x \omega }{c} \right )^{2}$,
т.е. в рассматриваемой ситуации магнитные силы действительно значительно меньше электрических.
