Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13602
2020-02-29 
К горизонтальному потолку вблизи одной из вертикальных стен на невесомой и непроводящей нитке подвешен маленький шарик массой $m$ с электрическим зарядом $Q$. Стены, пол и потолок комнаты проводящие. Шарик в положении равновесия находится на одинаковом расстоянии $L$ и от потолка и от ближайшей стены. Расстояния от шарика до остальных стен комнаты и до пола во много раз больше $L$. На каком расстоянии $s$ от ближайшей стены находится точка крепления нити к потолку? Считайте, что при заданные величинах $m, Q$ и $L$ это положение равновесия устойчиво.
Решение:
Поскольку стены, пол и потолок комнаты проводящие, можно выбрать их потенциал равным нулю. Понятно, что на проводящих поверхностях электрические заряды перераспределятся так, чтобы созданное зарядом $Q$ и этими перераспределившимися зарядами электрическое поле вблизи любой проводящей поверхности было перпендикулярно этой поверхности. Подберем такое распределение точечных зарядов в пространстве, чтобы это условие было выполнено. Этот прием (способ) носит название "метод электростатических изображений". Заряды должны располагаться в вершинах квадрата, центр которого совпадает с ближайшей к шарику точке (A) на линии пересечения потолка и ближайшей стены, при этом заряд $Q$ находится в одной из вершин этого квадрата, а остальные три вершины находятся вне комнаты (см. рисунок). Жирная горизонтальная линия на рисунке символизирует потолок, а жирная вертикальная линия - вертикальную стену, красным цветом отмечены заряды одного знака с $Q$, синим цветом - заряды противоположного знака.
На шарик действуют три силы: сила тяжести, сила натяжения нити и сила взаимодействия с электрическими зарядами, распределенными по проводящим поверхностям. Последняя сила направлена в сторону точки A и равна
$F_{эл} = \frac{kQ^{2}}{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{3/2} } - \frac{1}{2^{3} } \right )$.
Горизонтальная составляющая этой силы уравновешивается горизонтальной составляющей силы натяжения нити $T$, а вертикальная составляющая вместе с вертикальной составляющей силы натяжения нити уравновешивают силу тяжести $mg$. Обозначим угол между нитью и вертикалью через $\alpha$. Величина, которую нужно найти, это $s = L(1 + tg \alpha )$. Получается система уравнений
$T \sin \alpha = \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right )$,
$T \cos \alpha + \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) = mg$,
из которой находим тангенс угла $\alpha$, а затем и расстояние $s$ от точки A до точки крепления нити к потолку:
$tg \alpha = \frac{ \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }{mg + \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }$,
$s = L \frac{mg + 2 \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }{ mg + \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }$.
К горизонтальному потолку вблизи одной из вертикальных стен на невесомой и непроводящей нитке подвешен маленький шарик массой $m$ с электрическим зарядом $Q$. Стены, пол и потолок комнаты проводящие. Шарик в положении равновесия находится на одинаковом расстоянии $L$ и от потолка и от ближайшей стены. Расстояния от шарика до остальных стен комнаты и до пола во много раз больше $L$. На каком расстоянии $s$ от ближайшей стены находится точка крепления нити к потолку? Считайте, что при заданные величинах $m, Q$ и $L$ это положение равновесия устойчиво.
Решение:
Поскольку стены, пол и потолок комнаты проводящие, можно выбрать их потенциал равным нулю. Понятно, что на проводящих поверхностях электрические заряды перераспределятся так, чтобы созданное зарядом $Q$ и этими перераспределившимися зарядами электрическое поле вблизи любой проводящей поверхности было перпендикулярно этой поверхности. Подберем такое распределение точечных зарядов в пространстве, чтобы это условие было выполнено. Этот прием (способ) носит название "метод электростатических изображений". Заряды должны располагаться в вершинах квадрата, центр которого совпадает с ближайшей к шарику точке (A) на линии пересечения потолка и ближайшей стены, при этом заряд $Q$ находится в одной из вершин этого квадрата, а остальные три вершины находятся вне комнаты (см. рисунок). Жирная горизонтальная линия на рисунке символизирует потолок, а жирная вертикальная линия - вертикальную стену, красным цветом отмечены заряды одного знака с $Q$, синим цветом - заряды противоположного знака.
На шарик действуют три силы: сила тяжести, сила натяжения нити и сила взаимодействия с электрическими зарядами, распределенными по проводящим поверхностям. Последняя сила направлена в сторону точки A и равна
$F_{эл} = \frac{kQ^{2}}{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{3/2} } - \frac{1}{2^{3} } \right )$.
Горизонтальная составляющая этой силы уравновешивается горизонтальной составляющей силы натяжения нити $T$, а вертикальная составляющая вместе с вертикальной составляющей силы натяжения нити уравновешивают силу тяжести $mg$. Обозначим угол между нитью и вертикалью через $\alpha$. Величина, которую нужно найти, это $s = L(1 + tg \alpha )$. Получается система уравнений
$T \sin \alpha = \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right )$,
$T \cos \alpha + \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) = mg$,
из которой находим тангенс угла $\alpha$, а затем и расстояние $s$ от точки A до точки крепления нити к потолку:
$tg \alpha = \frac{ \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }{mg + \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }$,
$s = L \frac{mg + 2 \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }{ mg + \frac{kQ^{2} }{L^{2} } \left ( \frac{1}{2^{2} } - \frac{1}{2^{7/2} } \right ) }$.
