Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13601
2020-02-29 
Плоская квадратная стеклянная пластина площадью $S$ и толщиной $d = 30 см$ лежит на плоском горизонтальном дне высокого цилиндрического стеклянного сосуда очень большого сечения. Пластина не касается стенок этого сосуда. Несколько песчинок (шариков) одинакового диаметра $D$ не дают возможности пластине лечь на дно своей нижней поверхностью. В сосуд очень медленно наливают ртуть. Сначала постепенно увеличивалась площадь ртутной лужицы на дне сосуда, а затем начал повышаться уровень ртути. Пластина всплыла, как только уровень ртути в сосуде сравнялся с уровнем, на котором находилась верхняя поверхность пластины. Каковы размеры песчинок $D$? Какова площадь пластины $S$?
Справочные данные: плотность стекла $\rho_{ст} = 2500 кг/м^{3}$, плотность ртути $\rho_{рт} = 13600 кг/м^{3}$, коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma = 0,466 Н/м$, атмосферное давление $p_{0} = 10^{5} Па$, ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Ртуть, как известно, не смачивает стекло, поэтому, когда лужа ртути окружит пластину со всех сторон, вблизи нижних ребер пластины и под ней окажется "запертым" некоторое количество воздуха. Сразу после запирания воздуха его давление равно атмосферному давлению $p_{0}$. По мере роста уровня ртути в сосуде давление этого воздуха увеличивается, и (по условию) когда уровень ртути в сосуде сравняется с верхней поверхностью пластины, то оно заставит пластину всплыть. Следовательно, к этому моменту давление воздуха под пластиной выросло на величину
$\Delta p = \rho_{ст} gd$.
При этом пластина перестала давить на песчинки, а ртуть в этот момент начала затекать под пластину, что и привело к ее всплытию.
Почему ртуть не могла раньше проникнуть под пластину? Да потому, что поверхностное натяжение на границе раздела ртуть-воздух создавало дополнительное (лапласовское) давление, которое и сдерживало ртуть от затекания под пластину. Разумно считать, что температура в течение этого эксперимента не изменяется, поэтому запертый воздух подчиняется закону Бой-ля-Мариотта.
Набросаем "программу действий".
1) Чтобы найти объем запертого воздуха при атмосферном давлении, нужно оценить толщину слоя ртути на большом по площади горизонтальном стеклянном дне сосуда, когда еще не вся площадь дна покрыта ртутью.
2) Чтобы найти изменение давления воздуха после подъема уровня ртути на высоту $d$, нужно учесть давление столба ртути $\rho_{рт}gd$ и дополнительное (лапласовское) давление, связанное с кривизной поверхности ртути, ограничивающей объем запертого воздуха.
Рассмотрим большую лужу на стеклянной не смачиваемой ртутью поверхности. Условие равновесия ртути в этом случае таково:
$2L \sigma = LH \frac{ \rho_{ст}gH }{2}$,
где $L$ - длина прямолинейного участка границы лужи, $H$ - толщина слоя ртути. Отсюда находим
$H = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho_{ст}g } } \approx 3,7 мм$.
Когда все дно сосуда покрылось ртутью и ртуть прикоснулась к вертикальным стенкам (граням) пластины, непосредственно под пластиной запертым оказался воздух, имеющий объем $V_{1} = SD$. И еще есть воздух, прилегающий к стенке пластины вблизи ее нижних ребер, но не находящийся непосредственно под пластиной. На приведенном рисунке показано, как ртуть слева "прикоснулась" к грани пластины на высоте $H - h$ над дном сосуда и заперла дополнительно некоторое количество воздуха. Запишем условие равновесия жидкости ниже линии касания ртути и стенки пластины:
$\sigma L = (H - h)L \cdot \rho_{рт}g \frac{H + h}{2}$,
откуда найдем
$h = \frac{H}{ \sqrt{2} }$.
Радиусы кривизны поверхности ртути на разных глубинах $H$ и $h$ можно найти из условия равновесия жидкости:
$\frac{ \sigma}{R_{H} } = \rho_{ст}gH$, и $R_{H} = \frac{H}{4} \approx 0,9 мм$;
$\frac{ \sigma}{R_{h} } = \rho_{ст}gh$, и $R_{h} = \frac{H \sqrt{2} }{4} \approx 1,3 мм$;
Площадь $s$ поперечного сечения, перпендикулярного ребру пластины, для дополнительного объема воздуха, запертого лужей ртути вдоль нижних ребер пластины, можно оценить так:
$s = R_{H}R_{h} \left ( 1 - \frac{ \pi}{4} \right ) = H^{2} \frac{ \sqrt{2} }{16} \left ( 1 - \frac{ \pi}{4} \right ) \approx 0,076 \frac{ \sigma }{ \rho_{ст}g } \approx 0,26 мм^{2}$.
А дополнительный объем запертого воздуха будет $V_{2} = 4 \sqrt{S}s$. Итак, общий объем запертого лужей ртути воздуха при атмосферном давлении складывается из двух частей и равен
$V_{1} + V_{2} \approx SD + 0,3 \sqrt{S} \frac{ \sigma}{ \rho_{ст}g }$.
Предположим, что за мгновение до всплытия пластины ртуть еще не затекает под пластину, т.е. радиусы кривизны $R_{H}$ и $R_{h}$ чуть больше или равны $\frac{D}{2}$. При увеличении уровня ртути в сосуде до величины $d = 30 см \gg 3,7 мм$ радиусы кривизны отличаются друг от друга мало, поэтому их различием можно пренебречь и считать их одинаковыми: $R_{H} \approx R_{h} = \frac{D}{2}$. Тогда условие равновесия пластины имеет вид
$\rho_{рт}gd = \rho_{ст} gd + \frac{2 \sigma }{D}$.
Отсюда находим размеры песчинок:
$D = \frac{2 \sigma}{ ( \rho_{рт} - \rho_{ст} )gd } = 0,028 мм$.
К моменту всплытия пластины весь дополнительный объем воздуха оказался под пластиной и ртуть заняла под пластиной объем
$V_{3} = 4 \sqrt{S} \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} \left ( 1 - \frac{ \pi }{4} \right ) = 4 \sqrt{S} \cdot 4,2 \cdot 10^{-4} мм^{2}$.
Этой величиной можно пренебречь в сравнении с начальным значением дополнительного объема воздуха
$V_{2} = 4 \sqrt{S} \cdot 0,26 мм^{2}$.
Следовательно, давление воздуха под пластиной выросло на величину
$\Delta p = p_{0} \frac{V_{1} + V_{2} }{V_{1} } - p_{0} = p_{0} \frac{V_{2} }{V_{1} } = \frac{0,3 p_{0} \sigma}{ \rho_{рт} gD \sqrt{S} } = \rho_{ст} gd$.
Из этого уравнения можно найти площадь пластины $S$:
$S = \left ( \frac{0,3 p_{0} ( \rho_{рт} - \rho_{ст} ) }{2g \rho_{рт} \rho_{ст} } \right )^{2} \approx 0,24 м^{2}$.
Плоская квадратная стеклянная пластина площадью $S$ и толщиной $d = 30 см$ лежит на плоском горизонтальном дне высокого цилиндрического стеклянного сосуда очень большого сечения. Пластина не касается стенок этого сосуда. Несколько песчинок (шариков) одинакового диаметра $D$ не дают возможности пластине лечь на дно своей нижней поверхностью. В сосуд очень медленно наливают ртуть. Сначала постепенно увеличивалась площадь ртутной лужицы на дне сосуда, а затем начал повышаться уровень ртути. Пластина всплыла, как только уровень ртути в сосуде сравнялся с уровнем, на котором находилась верхняя поверхность пластины. Каковы размеры песчинок $D$? Какова площадь пластины $S$?
Справочные данные: плотность стекла $\rho_{ст} = 2500 кг/м^{3}$, плотность ртути $\rho_{рт} = 13600 кг/м^{3}$, коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma = 0,466 Н/м$, атмосферное давление $p_{0} = 10^{5} Па$, ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Ртуть, как известно, не смачивает стекло, поэтому, когда лужа ртути окружит пластину со всех сторон, вблизи нижних ребер пластины и под ней окажется "запертым" некоторое количество воздуха. Сразу после запирания воздуха его давление равно атмосферному давлению $p_{0}$. По мере роста уровня ртути в сосуде давление этого воздуха увеличивается, и (по условию) когда уровень ртути в сосуде сравняется с верхней поверхностью пластины, то оно заставит пластину всплыть. Следовательно, к этому моменту давление воздуха под пластиной выросло на величину
$\Delta p = \rho_{ст} gd$.
При этом пластина перестала давить на песчинки, а ртуть в этот момент начала затекать под пластину, что и привело к ее всплытию.
Почему ртуть не могла раньше проникнуть под пластину? Да потому, что поверхностное натяжение на границе раздела ртуть-воздух создавало дополнительное (лапласовское) давление, которое и сдерживало ртуть от затекания под пластину. Разумно считать, что температура в течение этого эксперимента не изменяется, поэтому запертый воздух подчиняется закону Бой-ля-Мариотта.
Набросаем "программу действий".
1) Чтобы найти объем запертого воздуха при атмосферном давлении, нужно оценить толщину слоя ртути на большом по площади горизонтальном стеклянном дне сосуда, когда еще не вся площадь дна покрыта ртутью.
2) Чтобы найти изменение давления воздуха после подъема уровня ртути на высоту $d$, нужно учесть давление столба ртути $\rho_{рт}gd$ и дополнительное (лапласовское) давление, связанное с кривизной поверхности ртути, ограничивающей объем запертого воздуха.
Рассмотрим большую лужу на стеклянной не смачиваемой ртутью поверхности. Условие равновесия ртути в этом случае таково:
$2L \sigma = LH \frac{ \rho_{ст}gH }{2}$,
где $L$ - длина прямолинейного участка границы лужи, $H$ - толщина слоя ртути. Отсюда находим
$H = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho_{ст}g } } \approx 3,7 мм$.
Когда все дно сосуда покрылось ртутью и ртуть прикоснулась к вертикальным стенкам (граням) пластины, непосредственно под пластиной запертым оказался воздух, имеющий объем $V_{1} = SD$. И еще есть воздух, прилегающий к стенке пластины вблизи ее нижних ребер, но не находящийся непосредственно под пластиной. На приведенном рисунке показано, как ртуть слева "прикоснулась" к грани пластины на высоте $H - h$ над дном сосуда и заперла дополнительно некоторое количество воздуха. Запишем условие равновесия жидкости ниже линии касания ртути и стенки пластины:
$\sigma L = (H - h)L \cdot \rho_{рт}g \frac{H + h}{2}$,
откуда найдем
$h = \frac{H}{ \sqrt{2} }$.
Радиусы кривизны поверхности ртути на разных глубинах $H$ и $h$ можно найти из условия равновесия жидкости:
$\frac{ \sigma}{R_{H} } = \rho_{ст}gH$, и $R_{H} = \frac{H}{4} \approx 0,9 мм$;
$\frac{ \sigma}{R_{h} } = \rho_{ст}gh$, и $R_{h} = \frac{H \sqrt{2} }{4} \approx 1,3 мм$;
Площадь $s$ поперечного сечения, перпендикулярного ребру пластины, для дополнительного объема воздуха, запертого лужей ртути вдоль нижних ребер пластины, можно оценить так:
$s = R_{H}R_{h} \left ( 1 - \frac{ \pi}{4} \right ) = H^{2} \frac{ \sqrt{2} }{16} \left ( 1 - \frac{ \pi}{4} \right ) \approx 0,076 \frac{ \sigma }{ \rho_{ст}g } \approx 0,26 мм^{2}$.
А дополнительный объем запертого воздуха будет $V_{2} = 4 \sqrt{S}s$. Итак, общий объем запертого лужей ртути воздуха при атмосферном давлении складывается из двух частей и равен
$V_{1} + V_{2} \approx SD + 0,3 \sqrt{S} \frac{ \sigma}{ \rho_{ст}g }$.
Предположим, что за мгновение до всплытия пластины ртуть еще не затекает под пластину, т.е. радиусы кривизны $R_{H}$ и $R_{h}$ чуть больше или равны $\frac{D}{2}$. При увеличении уровня ртути в сосуде до величины $d = 30 см \gg 3,7 мм$ радиусы кривизны отличаются друг от друга мало, поэтому их различием можно пренебречь и считать их одинаковыми: $R_{H} \approx R_{h} = \frac{D}{2}$. Тогда условие равновесия пластины имеет вид
$\rho_{рт}gd = \rho_{ст} gd + \frac{2 \sigma }{D}$.
Отсюда находим размеры песчинок:
$D = \frac{2 \sigma}{ ( \rho_{рт} - \rho_{ст} )gd } = 0,028 мм$.
К моменту всплытия пластины весь дополнительный объем воздуха оказался под пластиной и ртуть заняла под пластиной объем
$V_{3} = 4 \sqrt{S} \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} \left ( 1 - \frac{ \pi }{4} \right ) = 4 \sqrt{S} \cdot 4,2 \cdot 10^{-4} мм^{2}$.
Этой величиной можно пренебречь в сравнении с начальным значением дополнительного объема воздуха
$V_{2} = 4 \sqrt{S} \cdot 0,26 мм^{2}$.
Следовательно, давление воздуха под пластиной выросло на величину
$\Delta p = p_{0} \frac{V_{1} + V_{2} }{V_{1} } - p_{0} = p_{0} \frac{V_{2} }{V_{1} } = \frac{0,3 p_{0} \sigma}{ \rho_{рт} gD \sqrt{S} } = \rho_{ст} gd$.
Из этого уравнения можно найти площадь пластины $S$:
$S = \left ( \frac{0,3 p_{0} ( \rho_{рт} - \rho_{ст} ) }{2g \rho_{рт} \rho_{ст} } \right )^{2} \approx 0,24 м^{2}$.
