Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13600
2020-02-29 
Две одинаковые по размерам книжки соединили так, что листы книжек переложены через один и при этом половина площади каждой страницы соприкасается с соответствующей половиной страницы другой книги (см. рисунок). Корешки книг параллельны друг другу. К корешкам присоединены длинные стороны листов, имеющих размеры $L \times D = 15 \times 22 см$. Толщина каждого листа $d = 0,1 мм$. Коэффициент трения листов бумаги друг о друга $\mu = 0,3$. При каком количестве листов в книгах их не удастся разъять, прикладывая к корешкам силы, направленные в противоположные стороны?
Решение:
Это очень известная демонстрация физического эффекта, состоящего в том, что какие бы по величине силы $F$ не были приложены, книги "не желают" разъединяться, если сцеплено достаточно большое количество листов этих книг.
Пусть имеется симметрия, т.е. средние листы книг не изогнуты, а располагаются параллельно друг другу. В каждой книге $N \gg 1$ листов, тогда по одну и по другую сторону от средних листов располагаются примерно $N/2$ листов каждой книги. Угол $\phi_{0}$, который образуют со средними листами крайние листы книг, равен примерно $\phi_{0} = \frac{ \frac{N}{2} d}{ \frac{L}{2}} = \frac{Nd}{L}$. Примем, что этот угол много меньше 1, тогда при вычислениях можно будет пользоваться малостью этого и всех других аналогичных углов. Будем считать, что после приложения к книгам направленных в противоположные стороны сил $F$ все листы книг растянуты с одинаковыми по величине силами $\frac{F}{N}$. В этом случае самые внешние (последние) листы прижаты к внутренним листам силами $\frac{ \phi_{0}F}{N}$ - это перпендикулярные к плоскости симметрии проекции сил натяжения.
Предпоследние листы прижимаются к следующим внутренним листам силами, которые складываются из соответствующих проекций сил последних и предпоследних, и так далее вплоть до средних листов, причем для каждого листа имеется свой угол с плоскостью симметрии. В результате средние листы сжаты охватывающими их листами сильнее всего, и эти силы равны
$F_{сред} = \sum \frac{2n}{N} \frac{ \phi_{0}F}{N} \approx \frac{ \phi_{0}F}{4}$,
где суммирование производилось от $n = 1$ до $n = \frac{N}{2}$. Остальные листы сжаты более слабо, и чем дальше лист отстоит от середины, тем слабее.
Чтобы лист, сжатый с двух сторон, вытащить из его окружения, нужно вдоль листа приложить силу, равную сумме модулей сил, сжимающих лист, умноженной на коэффициент трения. Сила, которая необходима, чтобы разъединить книги, находится суммированием:
$\frac{ \phi_{0} \mu F }{N} \sum_{n = 1}^{n = \frac{N}{2} } 2 \cdot 2 \sum_{i=n}^{i = \frac{N}{2} } = \mu F \frac{8d}{L} \sum_{n = 1}^{n = \frac{N}{2} } \left [ \sum_{i = n}^{i = \frac{N}{2}} i \right ] = \mu F \frac{d}{3L} N^{2}$.
Если $\frac{ \mu dN^{2}}{3L} > 1$, то силы, необходимые для разъединения книг, больше приложенных к книгам сил $F$, т.е. происходит заклинивание. При числе листов в книгах
$N > \sqrt{ \frac{3L}{ \mu d}} = 123$
книги разъединить не удастся.
Заметим, что листы книг при такой укладке изогнуты, т.е. упруго деформированы. Поскольку в решении не учитывалась упругость листов бумаги, которая обеспечивает дополнительное прижатие листов бумаги друг к другу, то полученное значение числа $N$ следует считать завышенным. Предлагается читателям экспериментально найти число $N$ для двух учебников: физики и химии.
Две одинаковые по размерам книжки соединили так, что листы книжек переложены через один и при этом половина площади каждой страницы соприкасается с соответствующей половиной страницы другой книги (см. рисунок). Корешки книг параллельны друг другу. К корешкам присоединены длинные стороны листов, имеющих размеры $L \times D = 15 \times 22 см$. Толщина каждого листа $d = 0,1 мм$. Коэффициент трения листов бумаги друг о друга $\mu = 0,3$. При каком количестве листов в книгах их не удастся разъять, прикладывая к корешкам силы, направленные в противоположные стороны?
Решение:
Это очень известная демонстрация физического эффекта, состоящего в том, что какие бы по величине силы $F$ не были приложены, книги "не желают" разъединяться, если сцеплено достаточно большое количество листов этих книг.
Пусть имеется симметрия, т.е. средние листы книг не изогнуты, а располагаются параллельно друг другу. В каждой книге $N \gg 1$ листов, тогда по одну и по другую сторону от средних листов располагаются примерно $N/2$ листов каждой книги. Угол $\phi_{0}$, который образуют со средними листами крайние листы книг, равен примерно $\phi_{0} = \frac{ \frac{N}{2} d}{ \frac{L}{2}} = \frac{Nd}{L}$. Примем, что этот угол много меньше 1, тогда при вычислениях можно будет пользоваться малостью этого и всех других аналогичных углов. Будем считать, что после приложения к книгам направленных в противоположные стороны сил $F$ все листы книг растянуты с одинаковыми по величине силами $\frac{F}{N}$. В этом случае самые внешние (последние) листы прижаты к внутренним листам силами $\frac{ \phi_{0}F}{N}$ - это перпендикулярные к плоскости симметрии проекции сил натяжения.
Предпоследние листы прижимаются к следующим внутренним листам силами, которые складываются из соответствующих проекций сил последних и предпоследних, и так далее вплоть до средних листов, причем для каждого листа имеется свой угол с плоскостью симметрии. В результате средние листы сжаты охватывающими их листами сильнее всего, и эти силы равны
$F_{сред} = \sum \frac{2n}{N} \frac{ \phi_{0}F}{N} \approx \frac{ \phi_{0}F}{4}$,
где суммирование производилось от $n = 1$ до $n = \frac{N}{2}$. Остальные листы сжаты более слабо, и чем дальше лист отстоит от середины, тем слабее.
Чтобы лист, сжатый с двух сторон, вытащить из его окружения, нужно вдоль листа приложить силу, равную сумме модулей сил, сжимающих лист, умноженной на коэффициент трения. Сила, которая необходима, чтобы разъединить книги, находится суммированием:
$\frac{ \phi_{0} \mu F }{N} \sum_{n = 1}^{n = \frac{N}{2} } 2 \cdot 2 \sum_{i=n}^{i = \frac{N}{2} } = \mu F \frac{8d}{L} \sum_{n = 1}^{n = \frac{N}{2} } \left [ \sum_{i = n}^{i = \frac{N}{2}} i \right ] = \mu F \frac{d}{3L} N^{2}$.
Если $\frac{ \mu dN^{2}}{3L} > 1$, то силы, необходимые для разъединения книг, больше приложенных к книгам сил $F$, т.е. происходит заклинивание. При числе листов в книгах
$N > \sqrt{ \frac{3L}{ \mu d}} = 123$
книги разъединить не удастся.
Заметим, что листы книг при такой укладке изогнуты, т.е. упруго деформированы. Поскольку в решении не учитывалась упругость листов бумаги, которая обеспечивает дополнительное прижатие листов бумаги друг к другу, то полученное значение числа $N$ следует считать завышенным. Предлагается читателям экспериментально найти число $N$ для двух учебников: физики и химии.
