Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13599
2020-02-29 
Мост между берегами реки в профиль имеет форму выпуклой вверх дуги радиусом $R = 200 м$. Расстояние между крайними опорами моста на берегах реки составляет $R/2 = 100 м$. Дорога на берегах плавно сопрягается с поверхностью моста. Коэффициент трения между полотном дороги и колесами автомобиля $\mu = 0,7$. С какой максимальной постоянной по величине скоростью $v$ полноприводной автомобиль небольших размеров может проехать по такому мосту? Каким будет ответ, если автомобиль имеет привод только на одну пару колес? Считайте, что расстояние от центра масс автомобиля до всех четырех колес одинаково, а расстояние между дорогой и центром масс настолько мало, что им можно пренебречь даже в сравнении с расстоянием между осями передних и задних колес. Сопротивление воздуха не учитывайте.
Решение:
Условие движения с постоянной скоростью накладывает ограничение на скорость, так как при въезде на мост силы трения должны толкать автомобиль вперед, а в конце пути на мосту - притормаживать автомобиль. В результате сложения всех сил, действующих на автомобиль, его ускорение должно быть направлено к центру кривизны моста и оставаться постоянным по величине. Пусть угол между вертикалью и отрезком, соединяющим центр кривизны окружности (моста) и автомобиль, равен $\alpha$. Максимальное значение этого угла таково, что $\sin \alpha_{max} = \frac{1}{4}$. Для нормальной составляющей силы, действующей на автомобиль со стороны дороги, будем использовать символ $N$, а для касательной составляющей - символ $f$ и запишем уравнения движения:
$\frac{mv^{2} }{R} = mg \cos \alpha - N$,
$\mu N \geq f = mg \sin \alpha$.
В любой момент скорость автомобиля равна
$v = \sqrt{ gR \cos \alpha - \frac{NR}{m} }$.
Сила трения должна быть максимальной в моменты, когда модуль синуса угла $\alpha$ самый большой, т.е. при въезде на мост и при съезде с него. В эти моменты
$\mu N = f = mg \sin \alpha$.
Отсюда находим максимальное значение возможной (постоянной по величине) скорости автомобиля:
$v_{max} = \sqrt{gR \left ( \cos \alpha - \frac{ \sin \alpha }{ \mu} \right )} \approx 35 м/с = 126 км/ч$.
Если же автомобиль имеет привод только на передние или только на задние колеса, то максимальная величина силы трения равна $\frac{ \mu N}{2}$, т.е. уравнения изменятся:
$\frac{mv^{2}}{R} = mg \cos \alpha - N$,
$\frac{ \mu N}{2} \geq mg \sin \alpha$.
Тогда для максимальной скорости получаем
$v_{max} = \sqrt{gR \left ( \cos \alpha - \frac{2 \sin \alpha}{ \mu} \right )} \approx 22,5 м/с = 81 км/ч$.
Мост между берегами реки в профиль имеет форму выпуклой вверх дуги радиусом $R = 200 м$. Расстояние между крайними опорами моста на берегах реки составляет $R/2 = 100 м$. Дорога на берегах плавно сопрягается с поверхностью моста. Коэффициент трения между полотном дороги и колесами автомобиля $\mu = 0,7$. С какой максимальной постоянной по величине скоростью $v$ полноприводной автомобиль небольших размеров может проехать по такому мосту? Каким будет ответ, если автомобиль имеет привод только на одну пару колес? Считайте, что расстояние от центра масс автомобиля до всех четырех колес одинаково, а расстояние между дорогой и центром масс настолько мало, что им можно пренебречь даже в сравнении с расстоянием между осями передних и задних колес. Сопротивление воздуха не учитывайте.
Решение:
Условие движения с постоянной скоростью накладывает ограничение на скорость, так как при въезде на мост силы трения должны толкать автомобиль вперед, а в конце пути на мосту - притормаживать автомобиль. В результате сложения всех сил, действующих на автомобиль, его ускорение должно быть направлено к центру кривизны моста и оставаться постоянным по величине. Пусть угол между вертикалью и отрезком, соединяющим центр кривизны окружности (моста) и автомобиль, равен $\alpha$. Максимальное значение этого угла таково, что $\sin \alpha_{max} = \frac{1}{4}$. Для нормальной составляющей силы, действующей на автомобиль со стороны дороги, будем использовать символ $N$, а для касательной составляющей - символ $f$ и запишем уравнения движения:
$\frac{mv^{2} }{R} = mg \cos \alpha - N$,
$\mu N \geq f = mg \sin \alpha$.
В любой момент скорость автомобиля равна
$v = \sqrt{ gR \cos \alpha - \frac{NR}{m} }$.
Сила трения должна быть максимальной в моменты, когда модуль синуса угла $\alpha$ самый большой, т.е. при въезде на мост и при съезде с него. В эти моменты
$\mu N = f = mg \sin \alpha$.
Отсюда находим максимальное значение возможной (постоянной по величине) скорости автомобиля:
$v_{max} = \sqrt{gR \left ( \cos \alpha - \frac{ \sin \alpha }{ \mu} \right )} \approx 35 м/с = 126 км/ч$.
Если же автомобиль имеет привод только на передние или только на задние колеса, то максимальная величина силы трения равна $\frac{ \mu N}{2}$, т.е. уравнения изменятся:
$\frac{mv^{2}}{R} = mg \cos \alpha - N$,
$\frac{ \mu N}{2} \geq mg \sin \alpha$.
Тогда для максимальной скорости получаем
$v_{max} = \sqrt{gR \left ( \cos \alpha - \frac{2 \sin \alpha}{ \mu} \right )} \approx 22,5 м/с = 81 км/ч$.
