Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13597
2020-02-29 
Над плоской горизонтальной поверхностью на высоте $H = 10 м$ находится точечный изотропный источник света интенсивностью $W_{0} = 1000 К$. (тысяча кандел). В ближайшей к источнику света точке поверхности установлен маленький плоский датчик освещенности, его плоскость перпендикулярна лучам света. Площадь чувствительного элемента датчика $s = 0,1 см^{2}$. Какую освещенность $E_{1}$ (в люксах) регистрирует датчик? Затем прямо под источником света на поверхность поставили вертикальную цилиндрическую трубу с внутренним диаметром $d = 10 см$. Высота трубы равна $H$. Источник света и датчик освещенности находятся на оси симметрии трубы. Внутренние стенки трубы гладкие, зеркальные и отражают 100% света. Какую теперь освещенность $E_{2}$ регистрирует датчик? Что покажет датчик, если стенки при любом угле падения света отражают 99% падающего света? (Численные расчеты можно провести с помощью компьютера.)
Решение:
Световой поток от этого источника света равен (в люменах) $\Phi = 4 \pi W_{0} = 4 \pi \cdot 10^{3} лм$. По определению освещенности,
$E_{1} = \frac{ \Phi}{S} = \frac{4 \pi W_{0} }{4 \pi H^{2} } = \frac{W_{0} }{H^{2} } = 10 лк$.
Световой поток, попадающий от источника света в трубу, составляет половину от всего светового потока, создаваемого источником света. Свет, отражаясь от стенок трубы (и частично поглощаясь, если стенки отражают не 100% света), попадает на участок поверхности, ограниченный стенками трубы. Площадь этого участка равна $\frac{ \pi d^{2}}{4} \approx 78,5 см^{2} \gg s$. Поток излучения распределен почти равномерно по этому участку. Для стенок с коэффициентом отражения 100% датчик будет фиксировать освещенность
$E_{2} = \frac{ \frac{4 \pi W_{0} }{2} }{ \frac{ \pi d^{2} }{4} } = 8 \cdot 10^{5} лк$.
Если луч света от источника вышел под углом $\phi$ к оси симметрии трубы, то, прежде чем он попадет на поверхность с датчиком, он испытает $N = \left \{ \frac{H}{d} tg \phi \right \}$ отражений от стенок. Здесь фигурные скобки символизируют математическую операцию округления до ближайшего меньшего целого. С учетом отражений, в каждом из которых по условию задачи теряется 1% света, доля световой энергии, которая доберется до нижнего торца трубы, будет равна $(0,99)^{N}$. Это означает, что эквивалентный телесный угол $\Omega_{экв}$ теперь не $2 \pi$, а меньше. Для выбранных числовых значений параметров задачи
$\Omega_{экв} = \int_{0}^{ \pi /2} 2 \pi \sin \phi \cdot d \phi (0,99)^{ \left \{ \frac{H}{d} tg \phi \right \} } \approx 1,54$.
(Расчет этого эквивалентного угла можно провести, например, с использованием компьютерной программы Excel.) Следовательно, датчик освещенности зарегистрирует освещенность
$E_{3} = \frac{1,54W_{0} }{ \frac{ \pi d^{2} }{4} } \approx 2 \cdot 10^{5} лк$.
Над плоской горизонтальной поверхностью на высоте $H = 10 м$ находится точечный изотропный источник света интенсивностью $W_{0} = 1000 К$. (тысяча кандел). В ближайшей к источнику света точке поверхности установлен маленький плоский датчик освещенности, его плоскость перпендикулярна лучам света. Площадь чувствительного элемента датчика $s = 0,1 см^{2}$. Какую освещенность $E_{1}$ (в люксах) регистрирует датчик? Затем прямо под источником света на поверхность поставили вертикальную цилиндрическую трубу с внутренним диаметром $d = 10 см$. Высота трубы равна $H$. Источник света и датчик освещенности находятся на оси симметрии трубы. Внутренние стенки трубы гладкие, зеркальные и отражают 100% света. Какую теперь освещенность $E_{2}$ регистрирует датчик? Что покажет датчик, если стенки при любом угле падения света отражают 99% падающего света? (Численные расчеты можно провести с помощью компьютера.)
Решение:
Световой поток от этого источника света равен (в люменах) $\Phi = 4 \pi W_{0} = 4 \pi \cdot 10^{3} лм$. По определению освещенности,
$E_{1} = \frac{ \Phi}{S} = \frac{4 \pi W_{0} }{4 \pi H^{2} } = \frac{W_{0} }{H^{2} } = 10 лк$.
Световой поток, попадающий от источника света в трубу, составляет половину от всего светового потока, создаваемого источником света. Свет, отражаясь от стенок трубы (и частично поглощаясь, если стенки отражают не 100% света), попадает на участок поверхности, ограниченный стенками трубы. Площадь этого участка равна $\frac{ \pi d^{2}}{4} \approx 78,5 см^{2} \gg s$. Поток излучения распределен почти равномерно по этому участку. Для стенок с коэффициентом отражения 100% датчик будет фиксировать освещенность
$E_{2} = \frac{ \frac{4 \pi W_{0} }{2} }{ \frac{ \pi d^{2} }{4} } = 8 \cdot 10^{5} лк$.
Если луч света от источника вышел под углом $\phi$ к оси симметрии трубы, то, прежде чем он попадет на поверхность с датчиком, он испытает $N = \left \{ \frac{H}{d} tg \phi \right \}$ отражений от стенок. Здесь фигурные скобки символизируют математическую операцию округления до ближайшего меньшего целого. С учетом отражений, в каждом из которых по условию задачи теряется 1% света, доля световой энергии, которая доберется до нижнего торца трубы, будет равна $(0,99)^{N}$. Это означает, что эквивалентный телесный угол $\Omega_{экв}$ теперь не $2 \pi$, а меньше. Для выбранных числовых значений параметров задачи
$\Omega_{экв} = \int_{0}^{ \pi /2} 2 \pi \sin \phi \cdot d \phi (0,99)^{ \left \{ \frac{H}{d} tg \phi \right \} } \approx 1,54$.
(Расчет этого эквивалентного угла можно провести, например, с использованием компьютерной программы Excel.) Следовательно, датчик освещенности зарегистрирует освещенность
$E_{3} = \frac{1,54W_{0} }{ \frac{ \pi d^{2} }{4} } \approx 2 \cdot 10^{5} лк$.
