Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13596
2020-02-29 
В электрической схеме, изображенной на рисунке, все элементы идеальные, ток в катушке индуктивностью $L$ равен нулю. Ключ замыкают, а размыкают его через промежуток времени $t_{0}$, когда скорость изменения энергии, запасаемой в катушке индуктивности, достигает максимума. Известно, что $t_{0} = 2 ln 2 \cdot \frac{L}{R}$. Найдите:
1) мощность $P$, которую развивал источник тока в момент размыкания ключа;
2) количество теплоты $Q_{1}$, которое выделилось в схеме после размыкания ключа;
3) количество теплоты $Q_{2}$, которое выделилось в схеме при замкнутом ключе.
Решение:
Обозначим через $i_{L}$ и $i_{R}$ мгновенные значения токов, текущих через катушку индуктивности и через резистор, включенный параллельно катушке (слева на рисунке). В соответствии с условием имеем
$\mathcal{E} = Ri_{R} + R (i_{L} + i_{R} ) = Ri_{L} + 2Ri_{R}$, (1)
откуда
$i_{R} = \frac{ \mathcal{E} - i_{L}R}{2R}$,
а также
$L \frac{di_{L}}{dt} = Ri_{R}$. (2)
Скорость изменения энергии в катушке это
$w_{L} = \frac{ d \left ( \frac{Li_{L}^{2} }{2} \right ) }{dt} = Li_{L} \frac{di_{L} }{dt} = Ri_{L}i_{R}$,
или
$w_{L} = i_{L} \frac{ \mathcal{E} - i_{L}R }{2R} R = i_{L} \frac{ \mathcal{E} - i_{L}R }{2}$.
График такой зависимости $w_{L}$ от $i_{L}$ - это парабола. Экстремум достигается при $i_{L} = \frac{ \mathcal{E}}{2R}$. В этот момент ток, текущий через резистор, параллельный катушке индуктивности, равен $i_{R} = \frac{ \mathcal{E}}{4R}$. Следовательно, мощность источника тока в момент размыкания цепи равна
$P = \frac{ 3 \mathcal{E}^{2}}{4R}$.
Количество теплоты, выделившееся в цепи после размыкания ключа, равно запасенной в катушке энергии в момент размыкания ключа:
$Q_{1} = \frac{L \left ( \frac{ \mathcal{E} }{2R} \right )^{2} }{2} = \frac{L \mathcal{E}^{2} }{8R^{2}} $.
Для ответа на последний вопрос найдем заряд, прошедший через источник тока к моменту размыкания ключа. Для этого умножим выражения слева и справа уравнения (1) на $\Delta t$ и найдем сумму за все время $t_{0}$:
$\mathcal{E} \Delta t = R \Delta q_{L} + 2R \Delta q_{R}, \mathcal{E}t_{0} = Rq_{L} + 2Rq_{R}$. (3)
Из уравнения (2) находим заряд $\Delta q_{R}$:
$L \Delta i_{L} = Ri_{R} \Delta t = R \Delta q_{R}$,
а после суммирования за весь промежуток времени, пока ключ был замкнут, получим
$q_{R} = \frac{L \mathcal{E}}{2R^{2} }$.
Заряд, протекший за этот же промежуток времени через катушку индуктивности, можно найти из уравнения (3):
$q_{L} = \frac{1}{R} ( \mathcal{E}t_{0} - 2Rq_{R}) = (2ln2 - 1) \frac{L \mathcal{E}}{R^{2}}$.
Количество теплоты, выделившееся в электрической цепи при замкнутом ключе, найдем из закона сохранения энергии:
$Q_{2} = \mathcal{E} (q_{L} + q_{R} ) - Q_{1} = \frac{ \left ( 2 ln 2 - \frac{5}{8} \right ) L \mathcal{E}^{2} }{R^{2} }$.
В электрической схеме, изображенной на рисунке, все элементы идеальные, ток в катушке индуктивностью $L$ равен нулю. Ключ замыкают, а размыкают его через промежуток времени $t_{0}$, когда скорость изменения энергии, запасаемой в катушке индуктивности, достигает максимума. Известно, что $t_{0} = 2 ln 2 \cdot \frac{L}{R}$. Найдите:
1) мощность $P$, которую развивал источник тока в момент размыкания ключа;
2) количество теплоты $Q_{1}$, которое выделилось в схеме после размыкания ключа;
3) количество теплоты $Q_{2}$, которое выделилось в схеме при замкнутом ключе.
Решение:
Обозначим через $i_{L}$ и $i_{R}$ мгновенные значения токов, текущих через катушку индуктивности и через резистор, включенный параллельно катушке (слева на рисунке). В соответствии с условием имеем
$\mathcal{E} = Ri_{R} + R (i_{L} + i_{R} ) = Ri_{L} + 2Ri_{R}$, (1)
откуда
$i_{R} = \frac{ \mathcal{E} - i_{L}R}{2R}$,
а также
$L \frac{di_{L}}{dt} = Ri_{R}$. (2)
Скорость изменения энергии в катушке это
$w_{L} = \frac{ d \left ( \frac{Li_{L}^{2} }{2} \right ) }{dt} = Li_{L} \frac{di_{L} }{dt} = Ri_{L}i_{R}$,
или
$w_{L} = i_{L} \frac{ \mathcal{E} - i_{L}R }{2R} R = i_{L} \frac{ \mathcal{E} - i_{L}R }{2}$.
График такой зависимости $w_{L}$ от $i_{L}$ - это парабола. Экстремум достигается при $i_{L} = \frac{ \mathcal{E}}{2R}$. В этот момент ток, текущий через резистор, параллельный катушке индуктивности, равен $i_{R} = \frac{ \mathcal{E}}{4R}$. Следовательно, мощность источника тока в момент размыкания цепи равна
$P = \frac{ 3 \mathcal{E}^{2}}{4R}$.
Количество теплоты, выделившееся в цепи после размыкания ключа, равно запасенной в катушке энергии в момент размыкания ключа:
$Q_{1} = \frac{L \left ( \frac{ \mathcal{E} }{2R} \right )^{2} }{2} = \frac{L \mathcal{E}^{2} }{8R^{2}} $.
Для ответа на последний вопрос найдем заряд, прошедший через источник тока к моменту размыкания ключа. Для этого умножим выражения слева и справа уравнения (1) на $\Delta t$ и найдем сумму за все время $t_{0}$:
$\mathcal{E} \Delta t = R \Delta q_{L} + 2R \Delta q_{R}, \mathcal{E}t_{0} = Rq_{L} + 2Rq_{R}$. (3)
Из уравнения (2) находим заряд $\Delta q_{R}$:
$L \Delta i_{L} = Ri_{R} \Delta t = R \Delta q_{R}$,
а после суммирования за весь промежуток времени, пока ключ был замкнут, получим
$q_{R} = \frac{L \mathcal{E}}{2R^{2} }$.
Заряд, протекший за этот же промежуток времени через катушку индуктивности, можно найти из уравнения (3):
$q_{L} = \frac{1}{R} ( \mathcal{E}t_{0} - 2Rq_{R}) = (2ln2 - 1) \frac{L \mathcal{E}}{R^{2}}$.
Количество теплоты, выделившееся в электрической цепи при замкнутом ключе, найдем из закона сохранения энергии:
$Q_{2} = \mathcal{E} (q_{L} + q_{R} ) - Q_{1} = \frac{ \left ( 2 ln 2 - \frac{5}{8} \right ) L \mathcal{E}^{2} }{R^{2} }$.
