Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13592
2020-02-29 
Ковбой привязал мячик для бейсбола, $m_{м} = 150 г$ и $D = 7,3 см$, к суровой (нерастяжимой и легкой) нити длиной $L = 1 м$, которая другим концом была закреплена на круглой горизонтальной перекладине диаметром $d = 6 см$. Затем он отошел на 10 шагов в направлении, перпендикулярном перекладине, и выстрелил из кольта по мячу. Мяч стал быстро двигаться, накручивая нить на перекладину, а потом оторвался. При осмотре оказалось, что пуля застряла в мяче, а нитка обернулась вокруг перекладины $n = 2$ раза. Оцените, какой была скорость пули перед столкновением с мячом, если масса пули $m_{п} = 10 г$, а нитка выдерживает груз массой не больше $m_{гр} = 10 кг$.
Решение:
Ясно, что "10 шагов" даются в условии для того, чтобы можно было считать скорость пули за мгновение до столкновения с мячом горизонтальной. Сопротивлением воздуха и силой тяжести сначала пренебрежем. А потом сделаем соответствующие оценки.
За мгновение до разрыва нити выполняется условие
$\frac{v_{отр}^{2}}{R} (m_{п} + m_{м} ) = F_{ отр}$,
где $F_{отр} = m_{гр} g = 100 Н, R = L - n \pi d \approx 0,62 м$. Отсюда получаем
$v_{отр} = \sqrt{ \frac{F_{отр}R }{m_{п} + m_{м} } } \approx 20 м/с$.
Из закона сохранения импульса находим скорость пули перед столкновением с мячом:
$v_{п} = \frac{ v_{отр}(m_{п} + m_{м} ) }{m_{п} } \approx 320 м/с$.
Теперь проверим, были ли наши предположения справедливыми. При скорости 20 м/с кинетическая энергия мяча с пулей внутри равна 32 Дж. При подъеме мяча на 2 м вверх его скорость уменьшится до 19 м/с, т.е. влиянием силы тяжести, поскольку эта сила консервативная, действительно можно пренебречь.
При движении в воздухе, плотность которого $\rho \approx 1кг/м^{3}$, со скоростью $v = 20 м/с$ мяч такого размера испытывает силу сопротивления
$F_{сопр} = \mu S \frac{ \rho v^{2} }{2}$,
где $S$ - площадь поперечного сечения шарика, $S = \frac{ \pi D^{2}}{4}$, $\mu$ - безразмерный коэффициент, определяемый экспериментально и для шарика равный 0,4. Численно $F_{сопр} \approx 0,3 Н$. Это в пять раз меньше, чем сила тяжести, действующая на мяч. Однако за 2 оборота вокруг перекладины мяч пролетел в воздухе расстояние $l \approx 2 \pi (L + R) \approx 10м$. Если считать, что его скорость не менялась, т.е. сила сопротивления была постоянной, то шарик "растерял" на этом пути энергию
$W = F_{сопр}l \approx 3 Дж \ll 32 Дж$.
Следовательно, и предположение о том, что сопротивление воздуха особой роли не играет, тоже справедливо.
Ковбой привязал мячик для бейсбола, $m_{м} = 150 г$ и $D = 7,3 см$, к суровой (нерастяжимой и легкой) нити длиной $L = 1 м$, которая другим концом была закреплена на круглой горизонтальной перекладине диаметром $d = 6 см$. Затем он отошел на 10 шагов в направлении, перпендикулярном перекладине, и выстрелил из кольта по мячу. Мяч стал быстро двигаться, накручивая нить на перекладину, а потом оторвался. При осмотре оказалось, что пуля застряла в мяче, а нитка обернулась вокруг перекладины $n = 2$ раза. Оцените, какой была скорость пули перед столкновением с мячом, если масса пули $m_{п} = 10 г$, а нитка выдерживает груз массой не больше $m_{гр} = 10 кг$.
Решение:
Ясно, что "10 шагов" даются в условии для того, чтобы можно было считать скорость пули за мгновение до столкновения с мячом горизонтальной. Сопротивлением воздуха и силой тяжести сначала пренебрежем. А потом сделаем соответствующие оценки.
За мгновение до разрыва нити выполняется условие
$\frac{v_{отр}^{2}}{R} (m_{п} + m_{м} ) = F_{ отр}$,
где $F_{отр} = m_{гр} g = 100 Н, R = L - n \pi d \approx 0,62 м$. Отсюда получаем
$v_{отр} = \sqrt{ \frac{F_{отр}R }{m_{п} + m_{м} } } \approx 20 м/с$.
Из закона сохранения импульса находим скорость пули перед столкновением с мячом:
$v_{п} = \frac{ v_{отр}(m_{п} + m_{м} ) }{m_{п} } \approx 320 м/с$.
Теперь проверим, были ли наши предположения справедливыми. При скорости 20 м/с кинетическая энергия мяча с пулей внутри равна 32 Дж. При подъеме мяча на 2 м вверх его скорость уменьшится до 19 м/с, т.е. влиянием силы тяжести, поскольку эта сила консервативная, действительно можно пренебречь.
При движении в воздухе, плотность которого $\rho \approx 1кг/м^{3}$, со скоростью $v = 20 м/с$ мяч такого размера испытывает силу сопротивления
$F_{сопр} = \mu S \frac{ \rho v^{2} }{2}$,
где $S$ - площадь поперечного сечения шарика, $S = \frac{ \pi D^{2}}{4}$, $\mu$ - безразмерный коэффициент, определяемый экспериментально и для шарика равный 0,4. Численно $F_{сопр} \approx 0,3 Н$. Это в пять раз меньше, чем сила тяжести, действующая на мяч. Однако за 2 оборота вокруг перекладины мяч пролетел в воздухе расстояние $l \approx 2 \pi (L + R) \approx 10м$. Если считать, что его скорость не менялась, т.е. сила сопротивления была постоянной, то шарик "растерял" на этом пути энергию
$W = F_{сопр}l \approx 3 Дж \ll 32 Дж$.
Следовательно, и предположение о том, что сопротивление воздуха особой роли не играет, тоже справедливо.
