Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13587
2020-02-29 
В цилиндре под поршнем находится воздух. В стенках цилиндра есть два клапана: впускной $K_{1}$ и выпускной $K_{2}$ (рис.). Впускной клапан открывается, когда разность давлений воздуха снаружи и внутри цилиндра превышает $\Delta_{1} = 0,2p_{0}$, где $p_{0}$ - атмосферное давление. Выпускной клапан открывается, когда разность давлений внутри и снаружи превышает $\Delta_{2} = 0,4p_{0}$. Поршень совершает очень медленные колебания так, что объем воздуха в цилиндре изменяется в пределах от $V_{0}$ до $2V_{0}$. Температура снаружи и внутри цилиндра постоянна и равна $T_{0}$.
1) Определите наименьшее и наибольшее количество воздуха в цилиндре при колебаниях поршня.
2) Изобразите в координатах $p-V$ процесс, происходящий с воздухом в цилиндре после того, как поршень уже совершил достаточно много колебаний.
Ответьте на оба вопроса задачи, если $\Delta_{1} = 0,4p_{0}$, а $\Delta_{2} = 0,2p_{0}$.
Решение:
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для газа в цилиндре: $pV = \nu RT_{0}$, где $p, V$ и $\nu$ - давление, объем и количество воздуха соответственно. По условию задачи температура $T_{0}$ постоянна, но количество воздуха $\nu$ в цилиндре может меняться, если воздух либо входит в цилиндр через впускной клапан, либо выходит наружу через выпускной клапан.
1) Впускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p < p_{0} - \Delta_{1} = 0,8p_{0}$. Выпускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p > p_{0} + \Delta_{2} = 1,4p_{0}$. Если бы ни один из клапанов не открывался при колебаниях поршня, то давление в цилиндре изменялось бы в два раза при движении поршня от верхнего положения к нижнему и наоборот. Но тогда не могло бы выполняться условие $0,8p_{0} \leq p \leq 1,4p_{0}$, которое необходимо для того, чтобы клапаны не открывались. Следовательно, существуют промежутки времени, когда воздух медленно поступает в цилиндр через впускной клапан и когда воздух медленно выходит из цилиндра через выпускной клапан.
Когда воздух поступает в цилиндр через впускной клапан, количество воздуха увеличивается с увеличением объема и достигает максимального значения тогда, когда поршень находится в верхнем положении. Это максимальное значение равно
$\nu_{max} = \frac{0,8p_{0} \cdot 2V_{0}}{RT_{0} } = \frac{1,6p_{0}V_{0}}{RT_{0} }$.
Когда воздух выходит из цилиндра через выпускной клапан, количество воздуха уменьшается и достигает минимального значения тогда, когда поршень находится в нижнем положении, поэтому
$\nu_{min} = \frac{1,4p_{0}V_{0}}{RT_{0} }$.
2) Процесс, происходящий с воздухом в цилиндре, состоит из изотермического расширения от объема $V_{0}$ при постоянном количестве воздуха, дальнейшего изобарического расширения до объема $2V_{0}$ при увеличивающемся количестве воздуха, изотермического сжатия от объема $2V_{0}$ при другом постоянном количестве воздуха и, наконец, изобарического сжатия до исходного объема $V_{0}$ при уменьшающемся количестве воздуха. В координатах $p-V$ этот процесс выглядит так, как показано на рисунке.
Теперь рассмотрим второй случай, когда $\Delta_{1} = 0,4p_{0}$ и $\Delta_{2} = 0,2p_{0}$ . Впускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p < p_{0} - \Delta_{1} = 0,6p_{0}$, а выпускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p > p_{0} + \Delta_{2} = 1,2p_{0}$. Видно, что при изменении объема воздуха в два раза может выполняться условие $0,6p_{0} \leq p \leq 1,2p_{0}$, при котором клапаны не открываются. Следовательно, в этом случае количество воздуха в цилиндре остается постоянным и равным
$\nu = \frac{1,2p_{0}V_{0}}{RT_{0} }$.
Процесс, происходящий в этом случае с воздухом в цилиндре, состоит из одной изотермы, проходимой то в прямом, то в обратном направлении (рис.).
В цилиндре под поршнем находится воздух. В стенках цилиндра есть два клапана: впускной $K_{1}$ и выпускной $K_{2}$ (рис.). Впускной клапан открывается, когда разность давлений воздуха снаружи и внутри цилиндра превышает $\Delta_{1} = 0,2p_{0}$, где $p_{0}$ - атмосферное давление. Выпускной клапан открывается, когда разность давлений внутри и снаружи превышает $\Delta_{2} = 0,4p_{0}$. Поршень совершает очень медленные колебания так, что объем воздуха в цилиндре изменяется в пределах от $V_{0}$ до $2V_{0}$. Температура снаружи и внутри цилиндра постоянна и равна $T_{0}$.
1) Определите наименьшее и наибольшее количество воздуха в цилиндре при колебаниях поршня.
2) Изобразите в координатах $p-V$ процесс, происходящий с воздухом в цилиндре после того, как поршень уже совершил достаточно много колебаний.
Ответьте на оба вопроса задачи, если $\Delta_{1} = 0,4p_{0}$, а $\Delta_{2} = 0,2p_{0}$.
Решение:
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для газа в цилиндре: $pV = \nu RT_{0}$, где $p, V$ и $\nu$ - давление, объем и количество воздуха соответственно. По условию задачи температура $T_{0}$ постоянна, но количество воздуха $\nu$ в цилиндре может меняться, если воздух либо входит в цилиндр через впускной клапан, либо выходит наружу через выпускной клапан.
1) Впускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p < p_{0} - \Delta_{1} = 0,8p_{0}$. Выпускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p > p_{0} + \Delta_{2} = 1,4p_{0}$. Если бы ни один из клапанов не открывался при колебаниях поршня, то давление в цилиндре изменялось бы в два раза при движении поршня от верхнего положения к нижнему и наоборот. Но тогда не могло бы выполняться условие $0,8p_{0} \leq p \leq 1,4p_{0}$, которое необходимо для того, чтобы клапаны не открывались. Следовательно, существуют промежутки времени, когда воздух медленно поступает в цилиндр через впускной клапан и когда воздух медленно выходит из цилиндра через выпускной клапан.
Когда воздух поступает в цилиндр через впускной клапан, количество воздуха увеличивается с увеличением объема и достигает максимального значения тогда, когда поршень находится в верхнем положении. Это максимальное значение равно
$\nu_{max} = \frac{0,8p_{0} \cdot 2V_{0}}{RT_{0} } = \frac{1,6p_{0}V_{0}}{RT_{0} }$.
Когда воздух выходит из цилиндра через выпускной клапан, количество воздуха уменьшается и достигает минимального значения тогда, когда поршень находится в нижнем положении, поэтому
$\nu_{min} = \frac{1,4p_{0}V_{0}}{RT_{0} }$.
2) Процесс, происходящий с воздухом в цилиндре, состоит из изотермического расширения от объема $V_{0}$ при постоянном количестве воздуха, дальнейшего изобарического расширения до объема $2V_{0}$ при увеличивающемся количестве воздуха, изотермического сжатия от объема $2V_{0}$ при другом постоянном количестве воздуха и, наконец, изобарического сжатия до исходного объема $V_{0}$ при уменьшающемся количестве воздуха. В координатах $p-V$ этот процесс выглядит так, как показано на рисунке.
Теперь рассмотрим второй случай, когда $\Delta_{1} = 0,4p_{0}$ и $\Delta_{2} = 0,2p_{0}$ . Впускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p < p_{0} - \Delta_{1} = 0,6p_{0}$, а выпускной клапан открыт, когда давление воздуха в цилиндре удовлетворяет условию $p > p_{0} + \Delta_{2} = 1,2p_{0}$. Видно, что при изменении объема воздуха в два раза может выполняться условие $0,6p_{0} \leq p \leq 1,2p_{0}$, при котором клапаны не открываются. Следовательно, в этом случае количество воздуха в цилиндре остается постоянным и равным
$\nu = \frac{1,2p_{0}V_{0}}{RT_{0} }$.
Процесс, происходящий в этом случае с воздухом в цилиндре, состоит из одной изотермы, проходимой то в прямом, то в обратном направлении (рис.).
