Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13581
2020-02-29 
Два одинаковых проводящих шара 1 и 2 с диаметрами $d = 10 см$ каждый установлены на непроводящих подставках в воздухе так, что расстояние между их центрами $L = 1 м$. Сначала шары подключили к высоковольтному источнику и зарядили максимально возможными одинаковыми зарядами $Q$. Затем отключили шары от источника и длинным тонким проводом стали по очереди заземлять шары и отключать от заземления. После первого заземления шара 1 на нем был заряд $q_{1}$, после заземления шара 2 на нем был заряд $q_{2}$ и так далее. Иными словами, нечетные заземления проводились для шара 1, а четные - для шара 2. Найдите $Q, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \cdots$ вплоть до максимального номера операции заземления, когда еще получается "разумный" ответ. "Пробивная" напряженность электрического поля в воздухе $E_{0} = 3 \cdot 10^{6} В/м$.
Решение:
Сначала нужно найти максимальные заряды шаров $Q$. Если учесть перераспределение зарядов на шаре, вызванное наличием соседнего шара, то понятно, что максимальное по напряженности электрическое поле будет создаваться шарами в точках их поверхностей, находящихся на максимальном расстоянии друг от друга. Расстояние $L = 1 м$ значительно больше $D = 10 см$, поэтому при вычислениях можно пользоваться малостью величины $\frac{D}{L}$ и считать, что каждый шар находится в почти однородном поле, созданном другим шаром. Внешнее поле равно $E_{внеш} = \frac{kQ}{L^{2}}$. Перераспределение зарядов на шаре создает поле, компенсирующее внешнее поле таким образом, что внутри шара напряженность электрического поля равна нулю. Собственное поля шара, созданное его зарядом на поверхности, равно $E_{собст} = \frac{4kQ}{D^{2}}$. Отношение величин этих полей имеет порядок $\frac{E_{собст}}{E_{внеш}} \approx \frac{4L^{2}}{D^{2}} = 400$. Значит, действительно можно при расчете $Q$ перераспределение зарядов не учитывать. Тогда первоначальные заряды шаров будут равны
$Q = \frac{E_{0} D^{2}}{4k} = 0,83 \cdot 10^{-6} Кл$.
При заземлении одного из шаров заряд другого шара $q$ остается прежним, а заряд заземленного шара приобретает противоположный знак и по модулю становится меньше заряда другого шара в $N$ (определенное количество) раз. Потенциал заземленного шара равен нулю, поэтому выполняется условие
$kq \left ( \frac{1}{L} + \frac{2}{ND} \right ) = 0$, откуда $N \approx - \frac{2L}{D} = - 20$.
После выполнения операции заземления в $n$-й раз заряд шара, заземленного последним, станет равным $\frac{Q}{(-N )^{n}}$. Разумным будет величина заряда во много раз большая единичного заряда электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл$. Получается, что всего операций заземления нужно провести столько, чтобы все еще выполнялось неравенство
$\left ( \frac{2L}{D} \right )^{n} < \frac{D^{2}E_{0} }{4ke} = 5,2 \cdot 10^{12} > 20^{n}$.
Число операций заземления, после которого получаются еще "разумные" величины зарядов на шарах, равно $n = 9$ (см. табл.). После десятого заземления (пятого для второго шарика) заряд на заземленном шарике 2 должен быть равен примерно $e/2$, чего, естественно, быть не может. Казалось бы, что в последние три клеточки таблицы надо поставить нули.
На самом деле заряды шариков не могут быть равными нулю. Есть, например, такое условие: за счет теплового движения энергия заряженного шарика $\frac{2kq^{2}}{D}$ не может быть меньше чем $\frac{k_{Б}T}{2}$ (здесь $k_{Б}$ - постоянная Больцмана). Эта энергия для шарика диаметром 10 см при температуре 300 К соответствует заряду $q \approx 5 \cdot 10^{-17} Кл$. Таким образом, уже восьмое по счету заземление дает "неразумное" значение заряда на одном из шариков.
Два одинаковых проводящих шара 1 и 2 с диаметрами $d = 10 см$ каждый установлены на непроводящих подставках в воздухе так, что расстояние между их центрами $L = 1 м$. Сначала шары подключили к высоковольтному источнику и зарядили максимально возможными одинаковыми зарядами $Q$. Затем отключили шары от источника и длинным тонким проводом стали по очереди заземлять шары и отключать от заземления. После первого заземления шара 1 на нем был заряд $q_{1}$, после заземления шара 2 на нем был заряд $q_{2}$ и так далее. Иными словами, нечетные заземления проводились для шара 1, а четные - для шара 2. Найдите $Q, q_{1}, q_{2}, q_{3}, \cdots$ вплоть до максимального номера операции заземления, когда еще получается "разумный" ответ. "Пробивная" напряженность электрического поля в воздухе $E_{0} = 3 \cdot 10^{6} В/м$.
Решение:
Сначала нужно найти максимальные заряды шаров $Q$. Если учесть перераспределение зарядов на шаре, вызванное наличием соседнего шара, то понятно, что максимальное по напряженности электрическое поле будет создаваться шарами в точках их поверхностей, находящихся на максимальном расстоянии друг от друга. Расстояние $L = 1 м$ значительно больше $D = 10 см$, поэтому при вычислениях можно пользоваться малостью величины $\frac{D}{L}$ и считать, что каждый шар находится в почти однородном поле, созданном другим шаром. Внешнее поле равно $E_{внеш} = \frac{kQ}{L^{2}}$. Перераспределение зарядов на шаре создает поле, компенсирующее внешнее поле таким образом, что внутри шара напряженность электрического поля равна нулю. Собственное поля шара, созданное его зарядом на поверхности, равно $E_{собст} = \frac{4kQ}{D^{2}}$. Отношение величин этих полей имеет порядок $\frac{E_{собст}}{E_{внеш}} \approx \frac{4L^{2}}{D^{2}} = 400$. Значит, действительно можно при расчете $Q$ перераспределение зарядов не учитывать. Тогда первоначальные заряды шаров будут равны
$Q = \frac{E_{0} D^{2}}{4k} = 0,83 \cdot 10^{-6} Кл$.
При заземлении одного из шаров заряд другого шара $q$ остается прежним, а заряд заземленного шара приобретает противоположный знак и по модулю становится меньше заряда другого шара в $N$ (определенное количество) раз. Потенциал заземленного шара равен нулю, поэтому выполняется условие
$kq \left ( \frac{1}{L} + \frac{2}{ND} \right ) = 0$, откуда $N \approx - \frac{2L}{D} = - 20$.
После выполнения операции заземления в $n$-й раз заряд шара, заземленного последним, станет равным $\frac{Q}{(-N )^{n}}$. Разумным будет величина заряда во много раз большая единичного заряда электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл$. Получается, что всего операций заземления нужно провести столько, чтобы все еще выполнялось неравенство
$\left ( \frac{2L}{D} \right )^{n} < \frac{D^{2}E_{0} }{4ke} = 5,2 \cdot 10^{12} > 20^{n}$.
Число операций заземления, после которого получаются еще "разумные" величины зарядов на шарах, равно $n = 9$ (см. табл.). После десятого заземления (пятого для второго шарика) заряд на заземленном шарике 2 должен быть равен примерно $e/2$, чего, естественно, быть не может. Казалось бы, что в последние три клеточки таблицы надо поставить нули.
На самом деле заряды шариков не могут быть равными нулю. Есть, например, такое условие: за счет теплового движения энергия заряженного шарика $\frac{2kq^{2}}{D}$ не может быть меньше чем $\frac{k_{Б}T}{2}$ (здесь $k_{Б}$ - постоянная Больцмана). Эта энергия для шарика диаметром 10 см при температуре 300 К соответствует заряду $q \approx 5 \cdot 10^{-17} Кл$. Таким образом, уже восьмое по счету заземление дает "неразумное" значение заряда на одном из шариков.
