Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13576
2020-02-29 
Толщина стенок шарообразной стеклянной ампулы $h = 1 мм$, внешний радиус ампулы $R = 1 см$. В ампулу помещен радий в количестве $m = 1 мг$, а воздух из ампулы откачан. Известно, что из $M = 1 г$ радия за 1 секунду вылетает в среднем $N = 3,7 \cdot 10^{10}$ $\alpha$-частиц (ядер гелия). Найдите установившееся давление образовавшегося в ампуле гелия при температуре $T = 300 К$. Коэффициент диффузии гелия в стекле при такой температуре равен $D = 5,7 \cdot 10^{-6} см^{2}/с$. Через какое время после начала эксперимента давление внутри будет отличаться от установившегося значения не более чем на $\eta = 1$%?
Решение:
Давление газа можно найти из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов $p = nkT$, где $n$ - концентрация частиц. Явление диффузии и явление теплопередачи математически описываются одинаково. Если концентрации гелия внутри $n_{1}$ и снаружи $n_{2}$ отличаются, то поток $J$ частиц через стенку колбы наружу равен
$J = \frac{4 \pi R^{2}D (n_{1} - n_{2})}{h}$.
Установившуюся концентрацию частиц гелия $n_{1уст}$ внутри, с учетом того, что их концентрация снаружи равна нулю, найдем из условия равенства скорости поступления частиц в колбу и скорости убывания частиц через стенки колбы:
$\frac{Nm}{M} = \frac{4 \pi R^{2} Dn_{1уст}}{h}$.
Отсюда находим установившееся давление в ампуле:
$p_{уст} = kTn_{1уст} = \frac{kThNm}{4 \pi R^{2}DM } \approx 1,2 \cdot 10^{-8} Па$.
Если с момента начала эксперимента прошло немного времени, то со временем концентрация частиц внутри растет и этот рост описывается уравнением
$\frac{dn}{dt} = \frac{ \frac{Nm}{M} - \frac{4 \pi R^{2} Dn_{t}}{h}}{ \frac{4 \pi R^{3} }{3} }$.
Решением такого уравнения является экспоненциальная функция
$n_{t} = n_{1уст} (1 - e^{- \frac{3D}{Rh} t } )$.
Чтобы концентрация гелия внутри колбы отличалась от установившейся концентрации не более чем на 1%, требуется время
$\tau = 2 \frac{Rh}{3D} ln 10 \approx 7,5 ч$.
Толщина стенок шарообразной стеклянной ампулы $h = 1 мм$, внешний радиус ампулы $R = 1 см$. В ампулу помещен радий в количестве $m = 1 мг$, а воздух из ампулы откачан. Известно, что из $M = 1 г$ радия за 1 секунду вылетает в среднем $N = 3,7 \cdot 10^{10}$ $\alpha$-частиц (ядер гелия). Найдите установившееся давление образовавшегося в ампуле гелия при температуре $T = 300 К$. Коэффициент диффузии гелия в стекле при такой температуре равен $D = 5,7 \cdot 10^{-6} см^{2}/с$. Через какое время после начала эксперимента давление внутри будет отличаться от установившегося значения не более чем на $\eta = 1$%?
Решение:
Давление газа можно найти из основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов $p = nkT$, где $n$ - концентрация частиц. Явление диффузии и явление теплопередачи математически описываются одинаково. Если концентрации гелия внутри $n_{1}$ и снаружи $n_{2}$ отличаются, то поток $J$ частиц через стенку колбы наружу равен
$J = \frac{4 \pi R^{2}D (n_{1} - n_{2})}{h}$.
Установившуюся концентрацию частиц гелия $n_{1уст}$ внутри, с учетом того, что их концентрация снаружи равна нулю, найдем из условия равенства скорости поступления частиц в колбу и скорости убывания частиц через стенки колбы:
$\frac{Nm}{M} = \frac{4 \pi R^{2} Dn_{1уст}}{h}$.
Отсюда находим установившееся давление в ампуле:
$p_{уст} = kTn_{1уст} = \frac{kThNm}{4 \pi R^{2}DM } \approx 1,2 \cdot 10^{-8} Па$.
Если с момента начала эксперимента прошло немного времени, то со временем концентрация частиц внутри растет и этот рост описывается уравнением
$\frac{dn}{dt} = \frac{ \frac{Nm}{M} - \frac{4 \pi R^{2} Dn_{t}}{h}}{ \frac{4 \pi R^{3} }{3} }$.
Решением такого уравнения является экспоненциальная функция
$n_{t} = n_{1уст} (1 - e^{- \frac{3D}{Rh} t } )$.
Чтобы концентрация гелия внутри колбы отличалась от установившейся концентрации не более чем на 1%, требуется время
$\tau = 2 \frac{Rh}{3D} ln 10 \approx 7,5 ч$.
