Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13575
2020-02-29 
Над плоским квадратным листом бумаги расположен неподвижный точечный изотропный источник света. Известны1 освещенности поверхности листа вблизи трех углов квадрата: $E_{1} > E_{2} > E_{3}$. Эти величины меньше максимальной освещенности поверхности бумаги в одной из точек листа. Какова освещенность поверхности вблизи четвертого угла этого листа бумаги?
Решение:
Если освещенность четвертого угла $E_{4}$ не равна ни одной из величин $E_{4}, E_{2}$ и $E_{3}$, то вариантов может быть четыре:
$E_{4} > E_{1} > E_{2} > E_{3}, E_{1} > E_{4} > E_{2} > E_{3}$,
$E_{1} > E_{2} > E_{4} > E_{3}, E_{1} > E_{2} > E_{3} > E_{4}$,
Четвертый угол может занимать положения, отмеченные на рисунке буквами $A, B, C, D$. Положение источника света над квадратным листом отмечено звездочкой. Центр квадрата примем за начало координат, оси $x$ и $y$ находятся в плоскости листа, а ось $z$ направлена перпендикулярно листу. Пусть ребро квадрата имеет длину $2a$, координаты источника света ($x, y, z$), причем, как видно из рисунка, $x < y < a$. Освещенности точек $A, B, C, D$ можно выразить через освещенность $E_{0}$ в центре квадрата следующим образом:
$E_{D} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a - x)^{2} + (a - y)^{2} )^{3/2}}$,
$E_{C} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a + x)^{2} + (a - y)^{2} )^{3/2}}$,
$E_{B} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a - x)^{2} + (a + y)^{2} )^{3/2}}$,
$E_{A} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a = x)^{2} + (a + y)^{2} )^{3/2}}$,
Отсюда можно получить выражения для одной из неизвестных освещенностей через три известные:
$E_{D} = \frac{1}{( E_{1}^{-2/3} + E_{2}^{-2/3} - E_{3}^{-2/3} )^{3/2} }$,
$E_{C} = \frac{1}{( E_{1}^{-2/3} + E_{3}^{-2/3} - E_{2}^{-2/3} )^{3/2} }$,
$E_{B} = \frac{1}{( E_{1}^{-2/3} + E_{3}^{-2/3} - E_{3}^{-2/3} )^{3/2} }$,
$E_{A} = \frac{1}{( E_{2}^{-2/3} + E_{3}^{-2/3} - E_{1}^{-2/3} )^{3/2} }$,
Если освещенность четвертого угла равна одной из известных освещенностей, то это возможно в одной единственной ситуации: $E_{2} = E_{4}$. В итоге получается,
что для неизвестной освещенности четвертого угла возможны четыре разных варианта ответа:
$E_{4} = E_{2}, E_{4} = E_{D}, E_{4} = E_{C}, E_{4} = E_{A}$.
Над плоским квадратным листом бумаги расположен неподвижный точечный изотропный источник света. Известны1 освещенности поверхности листа вблизи трех углов квадрата: $E_{1} > E_{2} > E_{3}$. Эти величины меньше максимальной освещенности поверхности бумаги в одной из точек листа. Какова освещенность поверхности вблизи четвертого угла этого листа бумаги?
Решение:
Если освещенность четвертого угла $E_{4}$ не равна ни одной из величин $E_{4}, E_{2}$ и $E_{3}$, то вариантов может быть четыре:
$E_{4} > E_{1} > E_{2} > E_{3}, E_{1} > E_{4} > E_{2} > E_{3}$,
$E_{1} > E_{2} > E_{4} > E_{3}, E_{1} > E_{2} > E_{3} > E_{4}$,
Четвертый угол может занимать положения, отмеченные на рисунке буквами $A, B, C, D$. Положение источника света над квадратным листом отмечено звездочкой. Центр квадрата примем за начало координат, оси $x$ и $y$ находятся в плоскости листа, а ось $z$ направлена перпендикулярно листу. Пусть ребро квадрата имеет длину $2a$, координаты источника света ($x, y, z$), причем, как видно из рисунка, $x < y < a$. Освещенности точек $A, B, C, D$ можно выразить через освещенность $E_{0}$ в центре квадрата следующим образом:
$E_{D} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a - x)^{2} + (a - y)^{2} )^{3/2}}$,
$E_{C} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a + x)^{2} + (a - y)^{2} )^{3/2}}$,
$E_{B} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a - x)^{2} + (a + y)^{2} )^{3/2}}$,
$E_{A} = E_{0} \frac{a^{2}z}{(z^{2} + (a = x)^{2} + (a + y)^{2} )^{3/2}}$,
Отсюда можно получить выражения для одной из неизвестных освещенностей через три известные:
$E_{D} = \frac{1}{( E_{1}^{-2/3} + E_{2}^{-2/3} - E_{3}^{-2/3} )^{3/2} }$,
$E_{C} = \frac{1}{( E_{1}^{-2/3} + E_{3}^{-2/3} - E_{2}^{-2/3} )^{3/2} }$,
$E_{B} = \frac{1}{( E_{1}^{-2/3} + E_{3}^{-2/3} - E_{3}^{-2/3} )^{3/2} }$,
$E_{A} = \frac{1}{( E_{2}^{-2/3} + E_{3}^{-2/3} - E_{1}^{-2/3} )^{3/2} }$,
Если освещенность четвертого угла равна одной из известных освещенностей, то это возможно в одной единственной ситуации: $E_{2} = E_{4}$. В итоге получается,
что для неизвестной освещенности четвертого угла возможны четыре разных варианта ответа:
$E_{4} = E_{2}, E_{4} = E_{D}, E_{4} = E_{C}, E_{4} = E_{A}$.
