Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13574
2020-02-29 
Вдоль экватора на опорах проложили провод из алюминия с поперечным сечением $S = 1 см^{2}$. Магнитное поле вблизи экватора однородное, горизонтальное, направленное к северу и равное по величине $B = 3 \cdot 10^{-5} Тл$. Какой ток нужно пропустить по проводу, чтобы он перестал давить на опоры (начал левитировать)? Оцените допустимую продолжительность этого эксперимента, если провод не успевает отводить тепло в окружающее пространство. Тепловые и электрические характеристики алюминия отыщите в справочниках самостоятельно.
Решение:
Сила Ампера, действующая на провод, конечно, должна быть направлена вверх, поэтому электроны, которые являются свободными носителями зарядов в металлах, должны в этом проводе двигаться на запад. Из справочника находим плотность алюминия: $D = 2,7 г/см^{3}$, температуру плавления: $t = 660^{ \circ} C$, удельную теплоту плавления: $L = 390 кДж/кг$. Удельное сопротивление алюминия при комнатной температуре равно $\rho = 0,027 Ом \cdot мм^{2}/м$ и возрастает примерно в два раза при температуре плавления алюминия. Молярную теплоемкость алюминия можно считать равной $3R = 25 Дж/(моль \cdot К)$. Молярная масса алюминия $M = 27 г/моль$. Чтобы провод начал левитировать, сила Ампера должна уравновесить силу тяжести. Значит, по проводу нужно пропустить ток
$I = \frac{F_{A}}{Bl} = \frac{mg}{Bl} = \frac{DlSg}{Bl} = \frac{DSg}{B} = 9 \cdot 10^{4} А$.
Для ответа на вопрос о максимальном времени эксперимента нужно вычислить энергию, необходимую, чтобы расплавить алюминий. Мощность, выделяющаяся в одном метре провода в начальный момент, когда его температура невысока, равна
$P = I^{2}R = \frac{I^{2} \rho l}{S} \approx 2,2 МВт$.
К моменту когда провод прогреется до температуры плавления алюминия, мощность вырастет в два раза. В каждом метре провода содержится 10 моль вещества. Чтобы это количество вещества нагреть от $20^{ \circ} C$ до $660^{ \circ} С$ требуется $Q_{1} = 0,16 МДж$ тепла, а чтобы затем его расплавить, требуется еще $Q_{2} = 0,105 МДж$. Если считать, что удельное сопротивление металла не меняется с ростом температуры, то время эксперимента будет равно
$t = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{P} = \frac{0,265 МДж}{2,2 МВт} \approx 0,12 с$.
Если же считать, что удельное сопротивление соответствует температуре плавления, то время эксперимента будет вдвое меньше, т.е. приблизительно 0,06 с. В качестве оценки возьмем среднее арифметическое: $t_{ср} \approx 0,09 c$.
(Кстати, в начальный момент, когда провод еще холодный, на каждом метре провода должно быть напряжение, вдвое меньшее напряжения в конце эксперимента.)
Вдоль экватора на опорах проложили провод из алюминия с поперечным сечением $S = 1 см^{2}$. Магнитное поле вблизи экватора однородное, горизонтальное, направленное к северу и равное по величине $B = 3 \cdot 10^{-5} Тл$. Какой ток нужно пропустить по проводу, чтобы он перестал давить на опоры (начал левитировать)? Оцените допустимую продолжительность этого эксперимента, если провод не успевает отводить тепло в окружающее пространство. Тепловые и электрические характеристики алюминия отыщите в справочниках самостоятельно.
Решение:
Сила Ампера, действующая на провод, конечно, должна быть направлена вверх, поэтому электроны, которые являются свободными носителями зарядов в металлах, должны в этом проводе двигаться на запад. Из справочника находим плотность алюминия: $D = 2,7 г/см^{3}$, температуру плавления: $t = 660^{ \circ} C$, удельную теплоту плавления: $L = 390 кДж/кг$. Удельное сопротивление алюминия при комнатной температуре равно $\rho = 0,027 Ом \cdot мм^{2}/м$ и возрастает примерно в два раза при температуре плавления алюминия. Молярную теплоемкость алюминия можно считать равной $3R = 25 Дж/(моль \cdot К)$. Молярная масса алюминия $M = 27 г/моль$. Чтобы провод начал левитировать, сила Ампера должна уравновесить силу тяжести. Значит, по проводу нужно пропустить ток
$I = \frac{F_{A}}{Bl} = \frac{mg}{Bl} = \frac{DlSg}{Bl} = \frac{DSg}{B} = 9 \cdot 10^{4} А$.
Для ответа на вопрос о максимальном времени эксперимента нужно вычислить энергию, необходимую, чтобы расплавить алюминий. Мощность, выделяющаяся в одном метре провода в начальный момент, когда его температура невысока, равна
$P = I^{2}R = \frac{I^{2} \rho l}{S} \approx 2,2 МВт$.
К моменту когда провод прогреется до температуры плавления алюминия, мощность вырастет в два раза. В каждом метре провода содержится 10 моль вещества. Чтобы это количество вещества нагреть от $20^{ \circ} C$ до $660^{ \circ} С$ требуется $Q_{1} = 0,16 МДж$ тепла, а чтобы затем его расплавить, требуется еще $Q_{2} = 0,105 МДж$. Если считать, что удельное сопротивление металла не меняется с ростом температуры, то время эксперимента будет равно
$t = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{P} = \frac{0,265 МДж}{2,2 МВт} \approx 0,12 с$.
Если же считать, что удельное сопротивление соответствует температуре плавления, то время эксперимента будет вдвое меньше, т.е. приблизительно 0,06 с. В качестве оценки возьмем среднее арифметическое: $t_{ср} \approx 0,09 c$.
(Кстати, в начальный момент, когда провод еще холодный, на каждом метре провода должно быть напряжение, вдвое меньшее напряжения в конце эксперимента.)
